学位の長さの式の用語を理解していますか？

http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html（ページのソースを表示）などのオンライン計算機は、次の式を使用して度ごとのメートルを取得します。一般に、緯度ごとに1度あたりの距離がどのように変化するかは理解していますが、それが以下にどのように変換されるかはわかりません。より具体的には、定数、各式の3つの「cos」項、および「lat」の係数（2、4、6、3、5）はどこから来るのでしょうか。

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

WGS84回転楕円体の主半径はa = 6378137メートルであり、その逆平坦化はf = 298.257223563です。

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

緯度phiでの子午線の曲率半径は

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

平行に沿った曲率半径は

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

さらに、平行線の半径は

r = N cos(phi)

これらはMとNの球面値に対する乗法的補正であり、どちらも球面半径aに等しく、これはe2 = 0の場合に減少します。

北緯45度の黄色の点で、半径Mの青い円盤は子午線の方向の接触（「キス」）円であり、半径Nの赤い円盤は平行の方向の接触円です：両方ディスクには、この時点で「下」方向が含まれています。この図は、地球の平坦化を2桁誇張しています。

曲率半径は度の長さを決定します：円の半径がRの場合、長さ2 pi Rの円周は360度をカバーし、1度の長さはpi * R / 180 です。RをMおよびrに置き換える- -つまり、Mとrにpi / 180を掛けると、次数の長さの単純で正確な公式が得られます。

これらの式は、与えられたaとfの値（多くの場所にあります）と回転楕円体としての回転楕円体の記述にのみ基づいていますが、質問の計算で0.6パーツ以内に同意します100万（数センチ）は、問題の最小係数とほぼ同じ大きさであり、それらが一致することを示しています。（近似値は常に少し低くなります。）プロットでは、緯度の長さの相対誤差は黒で、経度の相対誤差は赤で破線になっています。

したがって、質問の計算は、上記の式の近似（切り捨てられた三角級数による）であると理解できます。

係数は、緯度の関数としてMおよびrのフーリエ余弦級数から計算できます。それらは、e2 の楕円関数で与えられます。WGS84スフェロイドの場合、私の計算は

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

（p4式の入力方法は推測できます。）コード内のパラメーターに対するこれらの値の近さは、この解釈の正確さを証明します。この改善された近似値は、あらゆる場所で10億分の1をはるかに上回る精度です。

この答えをテストRするために、両方の計算を実行するコードを実行しました。

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

との正確な計算をradii使用して、次のように度の長さのテーブルを印刷できます。

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

出力はメートル単位で、次のようになります（いくつかの行が削除されています）。

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

参照資料

LM BugayevskiyおよびJP Snyder、Map Projections-リファレンスマニュアル。 テイラー＆フランシス、1995年（付録2および付録4）

JP Snyder、Map Projections--A Working Manual。 USGS Professional Paper 1395、1987。（第3章）

奇妙な方法で表現されていますが、これはHaversine式です。