なぜ大陸を横切る「直線」の道はとても曲がっているのですか？
回答:
球体上のパスを見てください。これはGoogle Earthにあります。
上のパス、あなたのマップは、歪みのたくさんの投影を使用しているため、マップが強く湾曲しています。（歪みは極に向かって制限なく大きくなり、この経路は北極に近づいています。）
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ディストーションは、マップ上のこの測地線の曲率を説明するために必要ですが、それらの間の接続は微妙です。すぐに役立つ、有益で、エレガントなものがさらに多くあると言えます。同意するかどうかを確認します。
OPのマップはメルカトル図法を使用します。その顕著な特徴は、それが
円筒形：特に、子午線は地図上の垂直線です。
等角：地球上で2つのパスが交差する角度は、マップ上で正しくレンダリングされます。
ロクソドローム：一定の方位（地球上）のルートは、マップ上で直線セグメントとしてレンダリングされます。
これらのプロパティにより、重要な情報を地図から直接簡単に読み取ることができます。これに関連して、私はそれが交差する各経線とのパスによって作られる角度に最も興味を持っています。 （これらはベアリング北から測定。）例えば、経路はカナダの質問開始に示され、周りに54度の経線で約30度の角度をなす、緯度。
また、緯度54度のポイントについて知る必要があるのは、赤道に沿ったポイントよりも地球の軸に近いということです。実際、軸からのcos（54）* Rです。ここで、Rは地球の半径です。（これは本質的にコサインの定義です。コサインにある程度精通しているので、コサインの動作を理解できますが、実際には他の三角法を知る必要はまったくありません。私は約束します。角度のサインは、その補数のコサインです。たとえば、sin（32度）= cos（90-32）= cos（58）。
最後に、地球はその軸に関して回転対称であることに注意してください。これにより、Clairautの美しい
定理（1743）：滑らかな回転面のパスでは、軸までの距離とベアリングのサインの積は、パスが局所測地線である場合にのみ一定です。
したがって、緯度54度から30度の角度で開始するため、定理の積はcos（54）* R * sin（30）= 0.294 * Rに等しくなります。
これはどのように役立ちますか？さて、パスがマップ上でほぼ真っ直ぐ続くとしたらどうなるかを考えてください。遅かれ早かれ、それは73度の緯度まで上昇するでしょう。Clairautの定理を使用して、この緯度での方位を解くことができます。
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.これは、緯度が73度に達するまでに、真東に移動しなければならないことを意味します。つまり、測地線であるために、パスは、30度（北の東）の初期方位が90度（北の東）になるように強く曲がる必要があります。
（もちろん、方程式cos（latitude）= cos（latitude）* sin（90）= cos（54）* sin（60）を解くことで73度の値を見つけました。これを自分で行うには、（a ）sin（90）= 1（sin（90）= cos（90-90）= cos（0）= 1）および（b）ほとんどの電卓とスプレッドシートには余弦を解く機能があります;これはArcCosまたは逆余弦と呼ばれます。これ以上のトリガーについての私の以前の約束を破るものとしてこの小さな詳細を見ていないことを願っています...）
このようないくつかの計算を行った後、Clairautの定理が言っていることに対する直観を開発します。回転面（地球など）のパスは、（a）軸から遠く離れた地点で子午線と平行になり、（b）軸受けが大きくなる場合にのみ、測地線（局所的に最短または「直線」）になります。軸に近い点で子午線に垂直。取得できる垂直方向には制限があります（90度）！方位（=子午線に対する角度）と緯度（=軸までの距離）のこの一定の調整により、ほとんどのマップで、特に測地線の曲率が明らかになります。特に 子午線と緯線がそれぞれ垂直線と水平線としてレンダリングされる円柱投影を使用している場合。
以下に、Clairautの定理の簡単な意味を示します。すべてを証明できるかどうかを確認します。
赤道は測地線でなければなりません。
すべての経線は測地線です。
赤道（および極を含める場合は極）以外の緯度線は、測地線にすることはできません。緯度線のごく一部でも測地線になることはできません。
Loxodromes（別名rhumb line）は一定の方位の線であり、それらが子午線または赤道でない限り測地線になりません。そのようなロキソドロームのほんの一部でさえ測地線であることができません。言い換えると、一定のコンパス方向に航行または飛行する場合、いくつかの明らかな例外はありますが、あなたの進路は常に曲がっています！
ポイント4は、北の東30度の初期方位でカナディアンロッキーから飛行する場合、まっすぐに飛行するためには、北を基準にして、常に右に曲がっているように見える必要があると言います。緯度73度の北に行くことはありません。十分な距離を続けると、ポーランドに到着し、そこに着いたら北の約150度東に向かいます。もちろん、詳細度（73度、ポーランド、150度）は、Clairautの定理の定量的記述からのみ得られます。通常、測地線の直感的なアイデアを使用してそのようなことを理解することはできません。
これらの結果はすべて、完全な球体だけでなく、一般的な回転楕円体（楕円によって生成される回転面）にも当てはまることは注目に値します。わずかな修正を加えて、トーラス（ベーグルまたはトラックタイヤの表面）およびその他の多くの興味深い表面を保持します。（SF作家のLarry Nivenは、小さな人工トーラス型の世界を取り上げた小説を書いた。リンクには、この世界の一部を描いた小説の表紙の画像が含まれている。）
簡単な追加：
また、アジアから米国への飛行機はほぼ北極上空を移動します。
その方向では、彼らはしばしばジェットストリームを使用します。他の方向では、彼らは実際に極の上/近くを飛行します。
これは、2D平面がポロ化された2つの球体表面に投影されているためです。線が極を通過すると、目的地への直線が湾曲しているように見えるため、2D平面の観測者に関する限り、歪みが生じますアークの大円。これは、円が球の中心を通過する限り、球からスライスできる最大の円に関連する数学の用語です。他の回答で提供されている画像を、説明のために線を走らせて少し変更しました（むしろ残念ですが、GIMPが初めてです）いわゆる極歪みです。同様の概念は重力の背後にあると思いますが、私は物理学者ではないので言えません。
極に近づくほど、フラットな2Dサーフェスにレンダリングされたときの変形は少なくなりますが、それでもわずかです。また、使用する投影法にも依存します。2つのポイント間の最短ルートを平らに見せてから、完全な球形のビューに戻すことに焦点を当てているものもあります。