A ティソIndicatrixは、与えられた突起（下の図に、赤色の円のそれぞれは、同じ領域を占める）する傾向が一目で歪みの種類を通信するための有用な方法です。TIを生成するための一般的な方法には独自の問題があると言われていますが、それは時として悲惨なほど不正確です。
一般的な方法の問題点は何ですか？また、平均的なGISの人がアクセスできるTIを生成する最も正しい方法は何ですか？
回答:
座標を正確に投影できるソフトウェアは、正確なティソ指数を計算できます。
公式の優れた情報源は、Snyder、John、Map Projections--A Working Manual、主に20〜26ページです。（このサイトには数式を通信するための適切なツールがないため、ここでは再現しません。）球面座標（lat、lon）に対する投影座標（x、y）の4つのすべての微分係数が必要です。 （ファイ、ラムダ）：
dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).
TIについての他のすべては、これらの観点から計算されます（いくつかの算術関数と三角関数を使用して：コサイン、主逆正弦、および主逆正接）。計算には、地球の形状の説明が必要です。最高の精度を得るには、半長軸aと離心率eの楕円体データムを使用します。（これらはソフトウェアに認識されます。）
スナイダーの本には、これらの導関数を除くすべてを計算する方法に関する指示があります。 数値的に行います。h = 10 ^（-5.2）ラジアン（通常は約50メートル）の距離で 1次中央差分差分推定を使用して優れた結果が得られました：これは、無限に近づくことを試みることと、発生する誤差は（10 ^（-5.2））^ 2 = 10 ^（-10.4）に比例し、10 ^（-5.2）はIEEE倍精度の精度の10 ^ 10.4倍に等しいため、浮動小数点の丸め（倍精度と仮定） 10 ^（-15.6）であり、通常は10 ^（-10）から約10 ^（-14）で実行される投影の典型的な精度よりもはるかに大きくなっています。
それでは、どのように有限差分推定値を計算しますか？この部分は驚くほど簡単です。ポイント（phi、lambda）でdx / d（phi）を取得するには、GISにポイントを投影するように依頼します
(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).
見積もりを使用する
dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.
同様に、ポイントを投影します
(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)
推定値を使用します
dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.
それには4つの予測とわずかな計算が必要です。（非中心の差異を使用して3に減らすことができますが、精度は少し下がります。GISが調査グレード（ミリメートル）を使用していることが確実でない限り、hを小さくしすぎることなく、高精度を目指すのが賢明ですその投影式の精度。）
これらの導関数から、Snyderの式（4-19および4-21で説明されている修正に注意を払う）とともに、（phi、lambda）でのTissot Indicatrixの軸の長さとその方向を取得できます。世界規模のマップでは、TIは目に見えないほど小さいので、最後に行うことは、各TIの再スケーリングの程度を決定することです。マップの大きさを調べ、マップ全体の典型的なTIのサイズを見つけ、それらのTIがマップの約6％の幅になるようにスケーリングすることにより、スケール係数を決定します。とにかく良いスタートです。ユーザーにTIのサイズをそこから調整させます。もちろん、すべてのTIを同じ量だけ再スケーリングするので、それらを比較することができ、それぞれが5番目の投影（（phi、lambda）->（x、y）によって取得される独自の中心の周りで再スケーリングされます） ）。
TIの楕円形の描写への素晴らしい追加は、ローカル子午線と平行の方向を示すことです：そして、一目で、グリッド収束を評価できます。また、各楕円と同心の標準的な円（歪みなし）を示します。これは、各楕円で表される歪みの量を測定する読者の能力を向上させるためです。
このモルワイデ図法で注目すべきは、南極近くの極端なTIです。まだ完全な楕円であり、マップの歪みを正確に記述しています。