UTMゾーン外の面歪みを計算しますか？

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私の同僚の1人は、2つのUTMゾーンにまたがるデータを扱っています。データの大部分は1つのゾーンにあり、いくつかの外れ値は別のゾーンにあります。彼は、それらの外れ値がメインUTMゾーンにある場合に、それらの外れ値の面積の歪みがどうなるかを知りたいと考えています。

フィーチャが他のUTMゾーンまでどれだけ遠くにあるかを知っている面歪みを計算する公式はありますか？

— ケンブジャ
ソース

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UTMは、中央子午線でスケールファクター0.9996の横メルカトル図法を使用します。メルカトルでは、距離スケール係数は緯度の割線（1つのソース：http : //en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection）であり、面積スケール係数はこのスケール係数の2乗です。すべての方向、メルカトルは共形です）。緯度を赤道までの球面距離として理解し、楕円体を球で近似すると、メルカトル図法のあらゆる側面にこの式を適用できます。したがって：

スケール係数は、中央子午線までの（角度の）距離の割線の0.9996倍です。面積スケール係数は、この数量の2乗です。

この距離を見つけるには、（lon、lat）=（lambda、phi）の任意の点から測地線に沿って経度muで中央子午線に向かってまっすぐに、その子午線に沿って最も近い極に移動することによって形成される球面三角形を考えます。ラムダ子午線に沿って元のポイントに戻ります。最初のターンは直角で、2番目のターンはラムダミューの角度です。最後の部分に沿って移動した量は90-phi度です。この三角形の状態に適用される正弦の球面法則

sin（ラムダミュー）/ sin（距離）= sin（90度）/ sin（90-phi）

ソリューション付き

距離= ArcSin（sin（lambda-mu）* cos（phi））。

この距離は角度として与えられ、割線の計算に便利です。

例

中央子午線が-183 + 17 * 6 = -81度のUTMゾーン17を考えます。外れた場所を経度-90度、緯度50度とします。それから

ステップ1：（-90、50）から-81度子午線までの球面距離はArcSin（sin（9度）* cos（50度））= 0.1007244ラジアンに等しい

ステップ2：面積歪みは（0.9996 * sec（0.1007244ラジアン））^ 2 = 1.009406に等しくなります。

（GRS 80楕円体を使用した数値計算の値は1.009435であり、計算した答えが0.3％低いことを示しています。これは、楕円体の平坦化と同じ桁であり、誤差が球面近似によるものであることを示しています。）

近似値

エリアがどのように変化するかの感覚をつかむために、いくつかのトリガーIDを使用して全体的な表現を単純化し、ラムダミュー（ポイントの経度とUTM中央子午線の経度間の変位）のテイラー級数として展開できますそれはうまくいく

面積スケール係数〜0.9992 *（1 + cos（phi）^ 2 *（lambda-mu）^ 2）。

このようなすべての拡張と同様に、角度lambda-muはラジアンで測定する必要があります。エラーは0.9992 * cos（phi）^ 4 *（lambda-mu）^ 4より小さく、これは近似値と1の差の2乗、つまり小数点以下の値の2乗に近い。

phi = 50度（0.642788のコサイン）およびlambda-mu = -9度= -0.15708ラジアンの例では、近似により0.9992 *（1 + 0.642788 ^ 2 *（-0.15708）^ 2）= 1.009387が得られます。小数点を過ぎて二乗すると、そのエラーが（0.009387）^ 2 = 0.0001未満（そして実際にはエラーはそのサイズの5分の1のみ）にならないことを推測します（正しい値を知らなくても）。

この分析から、高緯度（cos（phi）が小さい）では、スケールエラーは常に小さいことが明らかです。また、低緯度では、面積スケールエラーは経度の差の2乗のように動作します。

— ウーバー
ソース

私はいつも考え抜かれた答えを与えるために、あなたに数えることができる

— kenbuja

+1本物の肉を手にするのは素晴らしいことです。私の数学的に挑戦された脳は、定量的な結果を解釈するのに役立つ視覚的な付属物を望んでいます。（私は追加することについてでした「が、それは新しい問題だ」、それだけはそうではないことが判明：gis.stackexchange.com/questions/31651/... :-)

— マットウィルキー

TIは@Mattのゾーンから十分に出るまであまり表示されません。メルカトル図法（質問に表示）のTIとまったく同じように見えますが、90度回転します。（あなたが参照する他のTIの質問に答えたいと思いますが、詳細な計算が必要であり、今それを提示する時間がありません。）

— whuber

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GeographicLibのツールGeoConvert

http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html

UTMゾーン間の寛大なオーバーラップを許可します（具体的には、結果の東方向が[0km、1000km]の範囲内にある場合、隣接ゾーンへの変換が許可されます）。GeoConvertは、経線の収束と縮尺をレポートすることもできます。また、whuberが指摘するように、面積の歪みは縮尺の2乗です。

たとえば、「メイン」ゾーンは42で、与えられたポイントが与えられます

41N 755778 3503488

（カンダハール大学）ゾーン42の西約29kmにあります。これをゾーン42に変換するには、

echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069

子午線の収束とゾーン42のスケールを決定するには、-cフラグを追加します

echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107

したがって、面積の歪みは1.0008107 ^ 2 = 1.0016221です。

— cffk
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