地球の表面に線が与えられた場合、それに垂直な線をどのようにプロットしますか？

地球の表面に線が与えられた場合、それに垂直な線をどのようにプロットしますか？

これが非常に単純な質問である場合はお詫びします。これは簡単な作業だと思いましたが、直観に反していることがわかりました。

下の図の青い線から始めます（リンクを参照してください-まだ数値をアップロードできません）。青い線（m）の勾配を計算し、次に勾配-1 / mの別の線（緑）をプロットして、垂直線を見つけました。（ 'plot'と 'axis equal'を使用して）Matlabで線をプロットすると、期待どおりに垂直に見えます。

http://imgur.com/7qMkx

ただし、これらの線を（KMLツールボックスを使用して）Google Earthにエクスポートすると、垂直に見えなくなります（下のリンクを参照。短い方の線は前の図の青い線です）。

http://imgur.com/ncJQ7

曲面で奇妙なことが起こることは理解していますが、線は少なくとも局所的に垂直に見えるべきだと思いました。これはGoogle Earthの投影に関係しているのではないかと思います。特に、グリッドセルはほぼ同じ辺の長さを持っているように見えますが、縦の辺の長さは1度ですが、緯度の辺の長さは0.5です。程度。

つまり、要約すると：

• 垂線を見つける方法は曲面で有効ですか？（つまり、勾配-1 / mの線をプロットします）
• Google Earthの画像で、垂線が期待どおりに表示されますか、それとも何か奇妙なことが起こっていますか？

更新：

より多くのコンテキストを提供するために：私は飛行機から取られたレーダーデータを見ています。マルチカラーの領域は、観測が記録されている「帯」です。上記の説明で始めた青い線は、スワスと平行です。これは航空機の飛行線です（飛行機はほぼ南西方向に動いていました）。レーダーは、左側の飛行線に直交する方向を向きます。私は飛行線に垂直な線を引こうとしています。これは、レーダーが見ている方向であり、帯をきれいにカットする必要があります。ご覧のとおり、そうではありません。

エレガントな原則は単純な答えを提供します：

滑らかな曲面上のすべての点は、十分に大きなスケールで平坦です。

これは、座標のアフィン変更後（通常は座標の1つだけの再スケーリングを含む）、距離を計算するためのピタゴラスの定理や、垂線を見つけるための負の逆勾配の式など、ユークリッドジオメトリの式を使用できることを意味します。

球体の緯度と経度の座標（経度が特異になる極から離れている）では、東西方向にスケールを変更して、極に近づくにつれて経度の縮む長さを反映します。地球の球体モデルでは、その収縮は緯度の余弦によって与えられます。 これは単にプロットのアスペクト比の変更であり、それ以上のものではありません。

これは、南北の緯度が数度以下で、どちらの極にも近づかない地域で機能します。

したがって、必要なことは次のとおりです。

1. すべての経度に典型的な緯度の余弦を掛けます。

2. 垂線を計算します。

3. 座標調整を元に戻します。

たとえば、飛行機の航跡が（lon、lat）=（-78、40）から（-79、41）になったとします。40.5のように、40〜41の範囲にある標準的な緯度を使用する場合があります。

ステップ1 調整された座標は、（-78 * cos（40.5）、40）=（-59.31167、40）および（-79 * cos（40.5）、41）=（-60.07207、41）です。

ステップ2 質問は、負の逆勾配法を使用してこれを行うことを提案します。それは正しいですが、場合によっては失敗します（勾配が無限大の場合）。ベクトル演算を使用する方がより一般的で強力です。計算方法は次のとおりです。

飛行経路の方向ベクトルは、最初から最後までの変位です。

v =  (-60.07207, 41) - (-59.31167, 40)
  =  (-0.7604, 1.0).

ベクトル（x、y）を時計回りに直角に回すと（y、-x）が生成されますが、右への垂直方向は

w = (1.0, 0.7604).

ピタゴラスの定理によれば、このベクトルの長さは、その係数の2乗の合計の平方根です。

|w| = sqrt(1^2 + 0.7604^2) = 1.256268

飛行機の飛行の始点からこのベクトルに沿って、たとえば0.2度移動します。開始点は（-59.31167、40）で、変位は0.2 / | w |です。時間w、最終的に

(-59.31167, 40) + 0.2 / 1.256268 * (1.0, 0.7604) = (-59.15247  40.12106).

ステップ3 調整を元に戻すには、結果のポイントの最初の座標を、ステップ1で使用したのと同じコサインで割ります。

(-59.15247/cos(40.5), 40.12106) = (-77.79064, 40.12106)

1：1のアスペクト比を使用してこれらのポイントをプロットすると、角度は直角ではなく鈍角に見えます。ただし、アスペクト比を1：cos（40.5）（約4：3）に変更すると、角度は正しく90度に見えます。等角投影（Googleのメルカトル図法を含む）を使用して点をプロットすると、角度も正しくなります。