変換行列を指定して新しい頂点の位置を計算しますか？

4x4変換行列または単純に9つの浮動小数点（positionX、positionY、positionZ、rotationH、rotationP、rotationR、scaleX、scaleY、scaleZ）を指定して、頂点の新しい位置を取得するにはどうすればよいですか？通常、最終的なメッシュ（または「ノード」、「オブジェクト」、または「ジオメトリ」）にマトリックスを割り当てることができますが、今は手動で行う必要があります。

3次元ベクトルとして表される頂点に一般的な4x4変換行列を適用するには、次のことを行う必要があります。

1. wコンポーネントとして1を追加して、ベクトルを4次元に拡張します。

   (x, y, z) => (x, y, z, 1)

2. 上記の4次元ベクトルを変換行列に乗算します。結果は、別の4次元ベクトルになります。

   ( 4x4 matrix ) * (x, y, z, 1) => (tx, ty, tz, w)

   4x4マトリックスに4x1ベクトルを乗算するための一般的な式は次のとおりです（私が失敗しなかった場合）：

   [ m11 m12 m13 m14 ][ x ]   [ m11 * x + m12 * y + m13 * z + m14 * w ]
   [ m21 m22 m23 m24 ][ y ]   [ m21 * x + m22 * y + m23 * z + m24 * w ]
   [ m31 m32 m33 m34 ][ z ] = [ m31 * x + m32 * y + m33 * z + m34 * w ]
   [ m41 m42 m43 m44 ][ w ]   [ m41 * x + m42 * y + m43 * z + m44 * w ]

   または、変換マトリックスの通常の構成を検討する場合：

   [ m11 m12 m13 px ][ x ]   [ m11 * x + m12 * y + m13 * z + px ]
   [ m21 m22 m23 py ][ y ]   [ m21 * x + m22 * y + m23 * z + py ]
   [ m31 m32 m33 pz ][ z ] = [ m31 * x + m32 * y + m33 * z + pz ]
   [ 0   0   0   1  ][ 1 ]   [ 1 ]

3. ベクトルを均質化することにより、3番目の次元に変換し直します。つまり、すべてを4番目のコンポーネントで除算しますw。

   (tx, ty, tz, w) => (tx/w, ty/w, tz/w)

   問題は、変換行列が単純な平行移動/回転/スケールのみを行う場合、の値はw1になり、1で除算するのと同じになるため、4番目のコンポーネントをドロップするだけです。

   しかし、wコンポーネントの削除がすべてのケースで機能するわけではないことを覚えておくのは良いことです。たとえば、射影行列では、この3番目のステップを忘れないでください。

行列とベクトルの乗算：

[ rxx rxy rxz px ] [ vx ]   [ vx' ]
[ ryx ryy ryz py ] [ vy ]   [ vy' ]
[ ryx ryy ryz pz ] [ vz ] = [ vz' ]
[   0   0   0  1 ] [  1 ]   [  1  ]

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