キャップ付きの単純な減少リターン

問題

プレイヤーは、レベル80までのレベルごとに5ポイントを最大400で獲得します。配布できる統計は5つあり、統計に追加できる上限はありません。

• 力
• 耐久
• 知能
• 機敏
• 運-クリティカルチャンスとクリティカルダメージを付与する

幸運を言うと、減少する回帰方程式を実装したいと思います。クリティカルチャンスについては、プレイヤーが100％のクリティカルチャンスにヒットすることを望みません。

ますます減少する成長が追加されたポイントごとに0に近づくにつれて、到達する上限があります。

たとえば、プレイヤーに与えたい最大クリティカルチャンスが40％の場合、運が上がるたびにクリティカルチャンスが徐々に増加し、クリティカルチャンスが40％に達するまで続きます。これにより、1運で非常にわずかな量が得られます。

解決策はありますか？ありがとう、あなたの助けは大歓迎です！

漸近関数から始めたいと思います。つまり、ある番号から開始してa別の番号bに近づくが、実際に到達することはありません。との場合a = 0、おそらく最も簡単になりb = 1ます。この方程式を取り、キャラクターが持っている統計ポイント（幸運ポイント）の数を入力し、出力として実際の統計値（クリティカルチャンス）を取得します。

非常に簡単な例はy = x / (x + n)、どこにn正の定数があるかです。ここでxあなたがSTATポイント数にフィードあなたの入力は、あり、そしてyあなたは、最終的なSTAT値を取得し、あなたの出力、です。

n = 5それがどのように見えるかをチェックしてください：

あなたがフィードするとき、x = 0あなたは得るがy = 0、あなたがどれほど大きくx入れても、y決して1に達することはない。完璧。

今、あなたはあなたの心の欲望にこれを調整することができます。スケールファクターを乗算して、「キャップ」を任意の値に設定できます。y = a * x / (x + 5)。上限を40％にするには、4を掛けます。y = .4 * x / (x + n)。あなたが養うとき今xs「は、y増加しますが、それはかなり0.4に到達することはありません。

調整nして、方程式の立ち上がり速度を設定します。n = 100よりもはるかに遅く増加しますn = 5：

n特定の数の統計ポイントで達成したい統計値が必要であることがわかっている場合、この方程式を解くことができます。キャラクターが幸運の100ポイントで35％のクリティカルチャンスを持つべきだとしましょう。解決.35 = .4 * 100 / (100 + n)のためのn利回りn = 14.29。

これらの数値も生の定数である必要はありません。たぶん、他の統計がの値の計算に入りますn。一部のキャラクターは異なるを持っているnため、「優先」統計のスケーリングが向上しています。

異なる形の曲線やより複雑な曲線が必要な場合は、漸近関数の他の多くの例も使用できます。あなたが望むようにそれを探検するためにあなたを残すでしょう

適切なベースはarctan、原点を通過して水平漸近線を示すため、などの関数になります。

で、それを拡大縮小40 / (pi/2)、または80/piご希望の限界のために。次に、変換luckして、必要な曲線の急峻度を取得します。

critical = 80/pi * arctan(f(luck))

Soulsゲームがこの問題に取り組む方法が本当に好きです。提案されているように、各統計が連続関数に基づいてボーナスを付与するのではなく、区分線形関数でボーナスを付与します。

私は頭の上の正確な数字を思い出せませんが、関数は次の行に沿っています（各統計には独自の定数があります）

この方法は、デザイナーとプレーヤーに多くの利点を提供します。デザイナーは、スキルのポイントごとの正確な利益をかなり簡単に調整できるので、プレーヤーは、レベルごとにどれだけの利益が得られるかを正確に知っているので利益があります。

連続関数の場合、一部のレベルでは、測定のエイリアシングにより数値に反映されない利点が得られる場合があります。最後のレベルではボーナスXYZが0.9増加しましたが、実際の値は23.52から24.42になり、表示する前に数値を四捨五入したため、プレーヤーは何かが変わったことに気付きません。

UXの観点からは、区分的線形関数を使用することをお勧めします。ただし、連続関数を使用すると、プレイヤーはラウンド定数に結び付けられないため、後で調整するのが簡単になります。

Jan Dvorakはコメントで指数関数を指摘しています。ここで説明します。

指数（およびトリガ）演算は、平方根演算よりも計算コストがかなり高く、それ自体が基本的な数学よりもはるかに悪いことに注意してください。したがって、これらの計算を1秒間に何回も行う場合は、おそらくAdamのアプローチをお勧めします。プレイヤーのレベル、装備の変更などで値を計算するだけの場合、速度は重要ではないので、最適な曲線が得られるものを使用してください。

指数関数は、ベースBからパワーxまでy=B^xです。数学者は一般にeの基数（〜= 2.718）を使用しますが、必要に応じて2または10を使用できない理由はありません。

y=e^x 次のようになります。

私たちが行うことによって、x軸を反転させることができますのでお知らせ左側が0にasympotically動いているy=e^(-x)が、それはまだ1から0まで下降だと我々はそれが上昇します。そのため、y=-を使用してy軸で反転できe^(-x)ます。今から-1 0にそれの上昇は、我々が得るために1を追加することができますy=1を- e^(-x)、それが0から1まで昇順ます。

ここからは、縦横にスケーリングするだけです。全体に何らかの値を掛けることができます。それをAと呼び、漸近的な制限を設定します。次に、xに変化率の値kを掛けて、限界に近づく速度を調整できます。

これにより、最終的な方程式が得られy=A*(1 - e^(-k*x))ます。値を使用するk=0.012とA=0.5、我々は50％に制限を設定し、それはかなり近いという制限の周りに取得させることができますx=400。

これで、これにいくつかの調整を加えることができます。私が行った調整の1つはに変更したA=0.5041ため、小数点以下2桁（32.23％など）のパーセンテージに丸めると、y（399）= 49.99％およびy（400）= 50.00％になります。y（347）以降では、0.01％の変化を得るために2ポイントを要する場所がいくつかあります。しかし、その最後の可能性のあるポイントは、依然として（ほとんど）目に見える利益をもたらし、それをさらに50％にもたらします。

または、k値を微調整して同様の効果を得ることができます。でk=0.02305、で49.99パーセントに値ラウンドy=399とで50.00パーセントy=400。ただし、このグラフであるという問題有する非常に端に浅いを-それは（からパーセントの最後の百を取得するために48点を取るy(352)=49.99%までy(399)=49.99%にy(400)=50.00%）、最後の1％クリティカルチャンスから（なんと230点を取りy(170)=49.01%にy(400)=50.00%）これはおそらく、返品が少なすぎます

必要に応じて、Aとkの両方を調整して、線形減衰と指数関数的減衰の間に何かを与えるために、遅いレートでやや高い限界まで減衰することができます。するとy=0.6*(1-e^(-0.00447*x))、これで終わります：

カーブは50％を超えて継続しますが、400レーティングの厳しい制限があるため、プレーヤーはそのポイントを渡すことができません（そして、彼らがなんとかそれを渡すことができた場合、60％のクリティカルの厳しい制限があります）。この方程式を使用すると、小数点以下1桁を使用しても、2〜3ポイントごとにゲインを確認でき、最終ティックはy(399)=49.9%〜になります。y(400)=50.0%。です。

数学的には、以前の方程式は実際には50％に近づいているため、より良いように見えるかもしれませんが、個人的には、2ポイントごとに0.1％のゲインは0.01％のゲインよりも良いと思います。でも持つA=0.05041とk=0.012、それから行くために102ポイントを取りy(298)=49.00%にy(400)=50.00%。あなたのポイントの25％があなたのクリティカルの2％に費やしているのは、おそらくあまりにも減少しています。60％の式では、最後のパーセントに20ポイントしかかかりません（最初のパーセントに必要な4ポイントよりも5倍高い）。

これらの最後のいくつかの方程式を使用して、方程式をスプレッドシートにプラグインし、見栄えが良くなるまで手動で値を調整しました。別のキャップが必要な場合は、同様の操作を行う必要があります。

非常に単純なソリューションの場合、平方根x 2はどうですか

400の平方根（最大値）は20、20 * 2 = 40です。