断面の極慣性モーメント

この質問は根本的に基本的なものなので、尋ねるのはほとんど恥ずかしいですが、先日仕事で出てきたので、オフィスの誰も私に良い答えを与えることができませんでした。T rの式を使用して、部材のせん断応力を計算していました。と、円形断面のシャフトの場合、JT=IPであることに注意してください。$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

とJ Tの両方は、ねじれに抵抗するオブジェクトの能力を表すために使用されます。I Pは、のように定義される∫ A ρ 2 D Aここでρ =をどの軸に対して半径方向距離I Pが計算されます。しかし、J Tには正確な分析方程式がなく、大部分は近似式で計算されますが、私が実際に調べた参考文献はありません。$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

だから私の質問は、慣性の極モーメントとねじれ定数J Tの違いは何ですか？数学的にだけでなく、実際に。それぞれがどのような物理的または幾何学的特性を表しているのですか？J Tの計算が難しいのはなぜですか？$I_P$$J_T$$J_T$

ねじり定数は、次の方程式を介して、ねじれの角度を適用されたトルクに関連付けます 。ϕ = T $J_T$ ここで、Tは適用されたトルク、Lは部材の長さ、Gはせん断弾性係数、JTはねじり定数です。

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

一方、極慣性モーメントは、断面が不変で、大きな反りがない、ねじれに対する断面の抵抗の尺度です。

ねじれのもとでの円形の棒の場合は、円形の対称性のために特別です。つまり、それは反りませんし、ねじれの下で断面は変化しません。したがって、です。$J_T = I_P$

メンバーに円対称性がない場合、ねじれの下で反り、したがってになると予想できます。$J_T \neq I_P$

これは計算方法の問題を残します。残念ながら、これは簡単ではありません。そのため、一般的な形状の値（通常は概算）が表になっています。$J_T$

ねじれ定数を計算する1つの方法は、プラントル応力関数を使用することです（別の方法は、ワーピング関数を使用することです）。

$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

$\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

例：円形断面のロッド

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

例：楕円形断面のロッド

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

$J_T < I_P$

これはほぼ偶然の一致であり、中実または中空の円形断面にのみ当てはまります。もちろんねじれを運ぶシャフトはしばしばある質問とは無関係である理由のために、円形！

$r^2 = x^2 + y^2$

$x$$y$

積分の形式は、円形ビームの面積の2次モーメントの場合とまったく同じ数学形式であり、これにより、要求した結果が得られます。

応力分布が放射状に対称ではないため、これは非円形断面では機能しません。たとえば、正方形の断面のねじり定数と極モーメントを比較すると、2つの式の「定数」が異なることがわかります。断面が円から外れるほど、その差は大きくなります。

複雑な形状の断面（Iビームなど）のねじり定数は、断面全体の応力分布が複雑であり、数学的に積分する単純な「式」がないため、計算が困難です。エンジニアリングハンドブックのねじれの式の多くは、「正確な」数学的解ではなく、単純化された仮定に基づいています。

しかし、実際には「エラー」はそれほど重要ではありません。非円形構造にねじり荷重が加えられると、断面は「反り」、つまり平面のままではなくなるためです。実際には、シャフトの端の拘束が影響するため、反りの量は不明であることがよくあります。非円形コンポーネントのねじり剛性の正確な推定が本当に必要な場合は、コンポーネント自体の完全な3次元モデルを作成し、それを構造の他の部分にどのように固定する必要があります。そのレベルの詳細度でモデルを作成する場合、答えを1つの数に減らしても、それを「ねじり剛性」と呼ぶことができるだけの意味はありません。

極慣性モーメントIpは、ねじれる固体の抵抗です。ただし、回転慣性モーメントJは、回転する固体の慣性モーメントです。このWebを参照してください。

私が理解しているように、Jは通常の慣性モーメントと同じですが、オブジェクトを回転させるためのものです。