マッハ0.3が圧縮性と非圧縮性の流れを区別するしきい値であるのはなぜですか？

マッハ0.3は、空気を非圧縮性流体として扱うための上限であると読んでいます。私が読んだソースは、これを証拠としても正当化もせずに与えられたものとして扱っているようです。

なぜこれが制限なのですか？これには数学的な正当性がありますか？また、この制限は空気にのみ適用されますか？そうでない場合、制限は何に依存しますか？

fluid-mechanics

— ポール
ソース

ウィキペディアは、これにより密度が最大5％変化するという事実により、Mach 0.3 の理由を示しています。

関係を（分析的に！）説明するNASAページを見つけました。ソースを引用しましたが、リンクが変更された場合に備えて、後世のためにここで作品を再現します。

運動量の保存から始めます。

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

ここで、は流体密度、は速度、は圧力です。等エントロピーフローの場合： $\rho$ $V$ $p$

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

ここで、は比熱比です。理想的なガスの法則は次のとおりです。 $\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

ここで、は比気体定数、は絶対温度です。したがって、次のように置き換えます。 $R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

音速は次の方法で計算できます。

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

ここでは音速です。 $a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

上記の式を運動量保存式に代入すると、次のようになります。

(ρ V) d V = - a^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{a^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

ここで、はマッハ数です。これにより、マッハ数が0.3になり、密度が約5％変化します。 $M$

注として、これはマッハ数に基づいており、マッハ数はガス内の音速に依存しているため、ガスごとに自動的に調整されます。

— チャック
ソース

@ポールこれは、運動量の保存に由来します。それは提案ほど多くの「ルール」ではありません。密度（またはその他の量）の10％（またはそれ以上）の変化を気にしない場合は、高マッハ数の非圧縮関係を使用してください。密度の小さな変化を気にする場合は、低いマッハ数であっても圧縮可能な関係を使用して

— ください-costrom

密度だけではありません。方程式を無次元化すると、無次元のグループが生成されます。経験則では、無次元グループが0.1未満の場合、関連する用語は無視できます。マッハ数の場合、それは二乗して表示されます。したがって、（マッハ数）^ 2 <0.1が必要です。これにより、およそ0.3が得られます。密度だけではありません。基本的に、マッハ数が0.3に達すると、高速で変化するすべてのものが約10％の影響を受けます。

— ジョエル

@Joel-文脈上、OPは圧縮率について具体的に尋ねていたため、この答えは密度のみを対象としています。

— チャック

明確な境界線ではないことを明確にします。エラーの許容範囲が低い場合は、低いマッハ数で圧縮性ソリューションの使用を開始してください。それほど気にしない場合は、より高いマッハ数で非圧縮性を想定してください。10％は、「本当に重要な」エラーの量の任意の選択であり、0.3は数学的にはその範囲から外れますが、それ以外の場合も同様です。

— ホッブズ

@chuck-ここでちょっとしたことですが、何かを非圧縮性流体として扱うことは、速度場の発散が0であると言うことを意味します。これは、単に密度よりも多くに影響します。彼はその非圧縮性の流体であると仮定していますが、それは通常密度に関する記述ではありません。

— ジョエル