特定の材料で構築されたトーラスの最大サイズを計算する方法

直径dの開いた中心があるように、円の中心が直径dの円の周りにスイープされた直径dの円形ディスクである中実トーラスを考えます。このトーラスは、最大の高さを達成するために横に立っています。どちらの側にも落ちないようにサポートする方法は、この質問の問題ではありません。

与えられた任意のマテリアルに対して、1gの自重で崩壊する前にこのソリッドトーラスの最大サイズを計算するにはどうすればよいですか？

この質問の目的のために、地面は無限の強さであると考えてください。

structural-engineering

— モンティ・ワイルド
ソース

回答:

重力は、体内に応力分布を作成します。均質で等方性の材料の場合、最大引張応力と最大圧縮応力の2つの注意点があります。これは、引張荷重と圧縮荷重を受ける場合、ほとんどの材料の挙動が異なるためです。（延性材料は引張荷重下で引き裂くことができますが、純粋な圧縮荷重下では裂けません。脆性材料は通常、引張強度よりも高い圧縮強度を持ちます。）

ρ f_{i} + \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{j}} = 0

$\rho f_i + \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = 0$

ρ

$\rho$

f_{i}

$f_i$

f_{i} = - g δ_{i 3}

$f_i=-g\delta_{i3}$

g

$g$

σ_{i j}

$\sigma_{ij}$

j

$j$

σ

$\sigma$

問題の単純なFEM計算を行いました。念のため、計算したジオメトリを以下に示します（次元はm）。

トーラスは完全ではないことに注意してください。シミュレーションでトーラスを保持するために導入しなければならなかった下部に小さな平坦な領域があります（完全なトーラスから1 mを切断して作成）。これにより、下部に小さな摂動が導入されますが、トーラスをサポートするには有限の領域が必要です。そうしないと、下部で応力が無限になります（以下も参照）。

他の回答で既に述べたように、最大圧縮応力は底部（トーラスが地面に接している部分）にあります。これは、次の図に示すように、最小主応力によって与えられます。

写真は、最小主応力の表面分布を示しています。スケールを-50 MPaでカットしたことに注意してください。最大の圧縮応力は一番下にあり、それを計算する最良の方法は、質量を面積で除算することです（他の回答で与えられているように）。（これがトーラスをサポートするために有限の面積が必要な理由です。）

支持面積が大きい場合、内径で最大の圧縮応力が得られることもあります。示されているジオメトリのこの最大圧縮応力は32 MPaです。

最大引張応力は、インナーサークルの最低点にあります。これは、次の図に示すように、最大主応力によって与えられます。

この形状の場合、最大引張応力は約に計算されます。28 MPa 計算に使用した密度は2.41 g /cm³（コンクリート）です。シミュレーションでは、重力加速度は9.81 m /s²です。物体の総質量は11.9e + 9 kg（1190万メートルトン）で、体積は4.93e + 6m³です。

多くの材料では、底部の圧縮応力が設計上の制限要因となる可能性が最も高くなります。ただし、非常に脆い材料の場合、引張応力が限界になる場合があります。たとえば、コンクリートを使用する場合、引張応力のある領域に鋼を追加する必要があります。

あなたは任意の資料を求めてきたので、今ではこれはまだあなたの質問に本当に答えていません。他の人が指摘したように、応力は形状と密度に応じてスケーリングされます。つまり、サイズを2倍にするか、密度を2倍にすると、最大応力が2倍になります。これで、ストレスを計算するために必要なものがすべて揃いました。最大サイズを評価するには、応力と強度を比較します。

PS：実際に構築する前に、安全率について考えてください。

PPS：少し考えれば、このストレスの分布も非常に直感的です。

編集：私はちょうど密度を今更新しました-私は念頭に置いて少し間違っていました。

また、延性材料の場合、一部の領域で材料を降伏させることができるため、これはまだ全体の答えではありません。材料はそれらの領域で塑性変形します。これは、降伏しない構造がすべての荷重を保持できる限り問題ありません。このアプローチは形式化できます。関連するドイツ語の用語は「plastischeStützzahl」で、これは「plastic support number」に変換されますが、正しい英語の翻訳がわかりません。

要約すると、材料に応じて、材料の降伏限界は最終的な限界である必要はありません。しかし、それは確かに良い最初の見積もりです。

— ロビン
ソース

そのような制限はないと思います。頭に浮かぶ唯一の要因は、トーラスのふもとのストレスです。

一時的に構造を無限に剛性であるとみなす場合、トーラスと地面との接触領域は極小点に等しくなり、トーラスの足（およびその下の地面）に無限の応力がかかります。変形を考慮すると、トーラスは足で変形して応力が材料の降伏強度よりも低くなるように領域を覆うため、完全なトーラスではなくなります。

完全に弾塑性の材料を想定すると、これは基本的にトーラスを必要なだけ変形できるため、制限もありません。他のストレスとひずみの関係を仮定すると、一般的に答えることはほとんど不可能になります。

トーラス内の内部力はあまり心配しません。トーラスの上部スパンを見ると、確かにそこに曲げがありますが、最大曲げモーメントは、直径の2倍に等しいと定義したスパンの二乗の関数になります（スパンはトーラスの異なる側面の中心点間の距離）。ただし、曲げは、断面の二次モーメントによって抵抗されます。これは、直径の4乗の関数です。つまり、直径を2倍にすると、曲げモーメントは4倍（4x）になりますが、面積の2番目のモーメントは16倍になります。したがって、実際には、直径が大きいほど、崩壊から遠くなります。これはトーラスのアーチ動作を考慮していません。曲げモーメントが大幅に減少し、圧縮力に変換されます。その後、座屈の可能性を持ち出すことができますが、このトーラスがどれだけスレンダーでないかを考えると、それも問題にはなりません。

トーラスの下半分も同様に機能します。曲げモーメントは、上記と同じ理由で大きな問題ではありません。この場合のアーチ動作は実際に張力を生成しますが、これらはトーラスの自重による圧縮力によって克服されます。

そのため、特定の素材の最大サイズを見つけることができる場所がわかりません。実際、心配する必要があるのはトーラスではなく、地面です。あなたが望むものなら何でもトーラスを作ることができますが、弱い粘土の上に置くと、それはゴブリングされます。デススターサイズのトーラスを作成して石の上に置くと、おそらく石を押しつぶしてゴブリングします。

— わさび
ソース

トーラスが無限に剛体であるとは考えていません。重力の下で変形すると予想しています。それで、サイズの制限は単に材料の圧縮強度に関係していると言っているのです。つまり、その材料の歪みがもはや弾性的ではない点ですか？さらに、地面の圧力が大きなサイズの問題になると予想していますが、それはこの質問の問題ではないので、地面は無限の強さであると考えてください。

— モンティワイルド

@MontyWild、無限剛性の考慮は、その1つの文の間だけ続きました。次は「変形を考慮する場合」から始まります。これは、無限ではない剛性を意味します。

— わさび

だから、ある株は、その材料のために、もはや弾性があるか、どこが自重で破断するポイント-すなわち、単に材料の圧縮強度に関連した大きさの制限は？

— モンティワイルド

@MontyWild、そうでもない。トーラスが最初に地面に触れるとき、降伏応力よりもはるかに大きな応力で非常に小さな領域（極小点）で接触します。したがって、その領域はトーラスに降伏して「沈み」ます。これにより、より大きな面積が地面と接触するようになりますが、それでもストレスが大きすぎるため、このより大きな面積も降伏し、接触面がさらに増加します。これは、接触面の応力が降伏強度よりも低くなるまで続きます。トーラスは常に適応するため、実際には制限はありません。

— わさび

@Wasabiあなたが説明する適応は、延性材料に対してのみ有効です。脆い材料（ガラスなど）は降伏せず、むしろ壊れます。

— ロビン

特定の素材で作られたオブジェクトのサイズには制限があります。

単純な理由は、任意の形状の場合（すべての材料特性が同じであると仮定）、その体積（したがって質量）はスケール係数の立方体で増加しますが、任意の点での断面積は正方形で増加するためです。

したがって、辺の長さが1mで質量が1kgの立方体（体積1m ^ 3および断面積1）を考慮すると、立方体の底部の圧縮応力は、その重量を底部の面積で割った値、つまり10N / 1m ^ 2 = 10Paです。

ただし、辺の長さを2倍にすると、体積が8m ^ 3になり、ベース領域が4m ^ 2になるため、新しい応力は80/4 = 20Paになります

もう一度ダブル（側面= 4m）体積= 64m ^ 3質量= 64kg重量= 640Nベース面積= 16m ^ 2

そのため、ベースでの応力= 640/16 = 40Pa

そのため...オブジェクトの自重による応力はスケール係数に比例するため、材料の降伏応力よりも大きいスケールに到達します。

非常に簡単に言えば、オブジェクトの重量はスケールの立方体で増加し、断面は正方形でのみ増加します。

したがって、任意の材料から作成できる最大サイズのオブジェクトは、降伏応力によって決まります。これが、現在「スペースエレベーター」を構築できない基本的な理由です。

トーラスの最大サイズを実際に計算するという点では、最も簡単な方法はFEAソフトウェアを使用することです。単位半径のトーラスのモデリングは十分に簡単で、最大応力がUTSの一部として見つかった場合、単純な外挿である必要があります。実際、多くのCADパッケージでは、スプレッドシートにリンクできるパラメトリックモデルを作成して、比率や材料特性の一般的なソリューションを取得できます。

— クリス・ジョンズ
ソース

この関係は、立方体と既知のアスペクト比のトーラスでは明らかに大きく異なります。

— -Ethan48

@ Ethan48も、正方形キューブルールはどの構造でも機能するため、トーラスを2倍にすると、立方体の場合と同様に、応力（非無限小の接触面があると仮定）が2倍になります。ここで私が見る問題は、変形した立方体が荷重下でその接触面積を増加させない（横変形を無視する）一方で、トーラスが変形してその面積を増加させ、そのため足の応力を減らすということです。

— わさび