ステップ関数（ヘビサイド関数）に対するシステムの応答

電気/熱システムのステップ関数への応答を計算したいと思います。一般に、伝達関数「簡単に」計算できます。$H$

$$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$$

Heaviside関数のフーリエ変換（）は（WAで計算される）ので、$\mathcal{F}$

$$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$$

したがって、の逆フーリエ変換に注意してください。$\mathcal{IF}$

$$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$$

計算を確認するために、簡単なRCシステムの応答を計算してみました。

コンデンサのよく知られた充電を取得する必要があります。伝達関数：

$$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$$

逆フーリエ変換（）をWA（）で計算すると、次のようになります。$\mathcal{IF}$$R=C=1$

これは、時間をさかのぼる場合は正しいでしょう：/。だから問題は...私は何を間違っているのですか？

私はラプラス変換を使用して同じことをしました、そして、すべてがうまくいきます...しかし、私はなぜかわかりません。

PS別の方法を使いたくありません。自分のアプローチの何が悪いのかを理解したいだけです。

PS私がWAを使用している理由は、より複雑なシステムではWAを使用してフーリエ変換を計算する必要があるためです。

主な理由は、Wolfram Alphaが2番目のフーリエ変換として逆フーリエ変換を適用しているためと考えられます。実際、そうすることで「フリップタイム」- 数学的に示すことができるように：

時間を反転する「 ''フリップタイム演算子 ''」を定義する、$\mathcal{P}$$\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

$$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$$

システムにフーリエ変換を3回適用すると、通常のバージョンが得られます。波は時間的に一貫しているため、通常は問題になりません。