一般的にレイノルズ数の計算で特徴的な長さを決定する方法は？

レイノルズ数は、式によって与えられることを理解してい。ここで、は密度、は流体速度、は動粘度です。与えられた流体力学問題に対して、、、およびは簡単に与えられます。しかし、特徴的な長さは正確には何ですか？どのように正確に計算しますか？特定の問題から、特性長を自動的に決定するために何を使用できますか？ $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— ポール
ソース

レイノルズ数がフローの問題を説明する類似性である理由を説明できますか？

— rul30

回答:

いくつかのコメントと回答で説明されているように、実りのある数学的観点からこの質問に取り組みたいと思います。与えられた答えは役に立ちますが、私は追加したいと思います：

一般に、使用可能な最小の長さスケールは、特性長さスケールです。
時々（例えば動的システムにおいて）、特性長さスケールとして選択する固定長スケールがない場合があります。このような場合、動的な長さスケールが見つかることがあります。

特徴的な長さスケール：

TL; DWTR：のための、特性長さスケールです。ための、特性長さスケールです。これは、長さスケールが小さいほど（通常）特性長さスケールであることを意味します。 $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

他の回答で説明されているパイプフローのケースを検討してください。半径があり、パイプの長さもあります。通常は、パイプの直径を特徴的な長さの尺度として使用しますが、これは常に当てはまりますか？さて、これを数学的な観点から見てみましょう。無次元座標を定義してみましょう： $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

ここで、、、、は - 座標と速度スケールですが、必ずしもそれらの特性スケールではありません。なお、圧力スケールの選択に対してのみ有効であり、。ケース再スケーリングが必要です。 $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

連続方程式を無次元量に変換：

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

これは、またはを想定している場合にのみます。これを知って、レイノルズ数は再定義されるかもしれません： $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

同様に、Navier-Stokes方程式を変換してみましょう（短くするために -componentのみ）：ここでは、レイノルズ数がスケーリングプロセス。ただし、幾何比によっては、方程式の再スケーリングが必要になる場合があります。次の2つのケースを検討してください。 $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

パイプの半径はパイプの長さよりもはるかに小さい（つまり、）： $R/L\ll1$

次に、変換された方程式は次のようになります。は非常に大きくなる可能性があり、適切にスケーリングされた方程式は係数以下しか持たないため、ここに問題があります。したがって、座標、速度、および圧力の再スケーリングが必要です：
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ この再スケーリングされた量の選択により、連続方程式は次の形式のままになります。 Navier-Stokes再スケーリングされた数量に関する方程式は、次のようになります。適切でスケーリングされますの値を取るときの以下の係数。これは、圧力スケールが再スケーリングを必要としなかったが、長さおよび速度スケールが再定義されたことを示しています。 $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ また、それぞれとの特徴的な長さと速度のスケールが、最初に想定されていたとではなく、とであることがわかります。 $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
パイプの半径がパイプの長さよりもはるかに大きい（つまり、） $R/L\gg1$ ：

変換された方程式は次のようになります：前のケースと同様に、は非常に大きくなる可能性があり、再スケーリングが必要です。今回を除き、座標、速度、圧力の再スケーリングが必要です：この再スケーリングされた数量の選択により、連続性方程式が次の形式のままであることを保証します。
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ 再スケーリングされた数量に関するNavier-Stokes方程式は、次のようになります。これは、またはの値を取ると小さくなります。これは、長さ、速度、圧力スケールが再定義されたことを示しています： $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ そして、それぞれ、、およびの特徴的な長さ、速度、および圧力のスケールが、最初に想定されていた、、ではなく、、、およびであることがわかります。 $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

このすべてのポイントを忘れてしまった場合のために：場合、は特徴的な長さスケールです。ための、特性長さスケールです。これは、長さスケールが小さいほど（通常）特性長さスケールであることを意味します。 $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

動的長さスケール：

種の半無限領域への拡散を検討します。一方向に無限であるため、固定長のスケールはありません。代わりに、長さスケールは、ドメインにゆっくりと浸透する「境界層」によって確立されます。特徴的な長さスケールが時々呼ばれるときのこの「浸透長」は、次のように与えられます：

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

ここで、は拡散係数、は時間です。見てわかるように、システムの拡散ダイナミクスによって完全に決定されるため、長さスケール含まれていません。そのようなシステムの例については、この質問に対する私の回答を参照してください。 $D$ $t$ $L$

— ヌルイージ
ソース

「利用可能な最小の長さスケール」と言うとき、利用可能とはどういう意味ですか？何が利用可能で何が利用不可かを正確に決定するものは何ですか？

— ポール

@Paulの「利用可能」は、長さ、高さ、幅、直径などの明らかな幾何学的長さスケールに関連して意味されていました。これは、あまり明確ではなく、システムのダイナミクスによって決定される動的長さスケールとは対照的です。

— nluigi

利用可能な他の長さではなく、「利用可能な最小の長さ」を一般的に使用するための特別な理由はありますか？

— ポール

@Paul勾配は一般的にそこで最も大きく、ほとんどの輸送は小さな長さのスケールで発生します

— nluigi

これをまとめてくれてありがとう。idkが正しい場合

— Dan Powers

これは実用的で経験的な問題であり、数学で「解決」できる理論的な問題ではありません。それに答える1つの方法は、レイノルズ数が物理的に意味するところから始めることです。これは、流れ場における「典型的な」慣性力と粘性力の比率を表します。

したがって、典型的なフローパターンを見て、力の比率を表すのに最適な長さの測定を選択します。

たとえば、円形のパイプを通る流れでは、粘性（せん断）力はパイプの軸から壁までの速度プロファイルに依存します。パイプの軸に沿った速度が同じである場合、半径を2倍にすると、（おおよそ）軸と壁の間のせん断速度が半分になります（速度がゼロの場合）。したがって、半径、または直径は、特性の長さの良い選択です。

半径または直径を選択した場合、Reは明らかに（2倍）異なるため、実際にはすべての人が同じ選択を行い、層流から乱流への遷移に全員が同じ臨界値のReを使用します。実用的なエンジニアリングの観点からは、パイプのサイズは測定が容易なため、直径で指定されます。そのため、Reにも直径を使用することをお勧めします。

ほぼ円形のパイプの場合、（同様の種類の物理的な引数により）パイプの円周が実際に最も重要な長さであると判断する場合があるため、次のように定義された「等価直径」を使用して、結果を円形パイプと比較します。（円周/円周率）。

一方、パイプの長さは流体のフローパターンにあまり影響を与えないため、ほとんどの場合、Reの特性長の選択としては不十分です。しかし、長さが直径よりもはるかに短い非常に短い「パイプ」での流れを検討している場合、長さは、流れを記述するパラメーターとして使用するのに最適な数値になる可能性があります。

— アレフゼロ
ソース

数学はここでは役に立たないというあなたの声明には同意しません。あなたが説明する手順は、境界層のような明白な長さスケールがない多くの場合役に立たないでしょう。それが当面の問題です。支配方程式の次元分析は、層流境界層と乱流境界層の関連する長さスケール、たとえば、それぞれ層流境界層の厚さスケールと粘性長さスケールを見つけるのに非常に役立ちます。熱プルームの遠方場スケーリングは、提案した分析を行う方法がそれほど明確ではない別のケースですが、次元分析は役立ちます。

— Ben Trettel、2015年

@BenTrettel-次元分析が特性長さスケールの決定に大いに役立つことに同意します。「簡単な」例については、私の回答を参照してください。

— nluigi

関連する用語のグループ（長さや時間スケールだけではない）を決定するには、主に3つの方法があります。1つは数学によるもので、問題または類似または適切な問題を分析的に解決し、どの用語が表示されるかを確認し、必要に応じて物事を簡略化する選択を行います（これについては以下で詳しく説明します）。2番目のアプローチは、試行錯誤によるものです。3番目は前例によるもので、通常、過去の誰かがすでにこの問題または関連する問題について前述の分析を行っている場合です。

理論的分析を行う方法はいくつかありますが、エンジニアリングで有用な方法の1つは、無次元化する支配方程式です。パイプフローの場合のように、特徴的な長さが明らかな場合があります。しかし、他の場合には、自由せん断流や境界層の場合のように、明確な特徴的な長さはありません。これらの場合、特性長を自由変数にして、問題を単純化するものを選択できます。以下は、無次元化に関する優れた注意事項です。特徴的な時間と長さのスケールを見つけるための次の提案があります。

（常に）できるだけ多くの無次元定数を1に等しくします。

（通常）初期条件または境界条件に現れる定数を1に等しくします。

（通常）無次元定数があり、それをゼロに設定すると、問題が大幅に簡略化され、自由にしておいて、いつ小さくできるかを確認できます。

他の主なアプローチは、問題を完全に解決し、どの用語のグループが表示されるかを確認することです。一般に、このタイプの理論分析から用語を取得する場合、関連する長さは明らかですが、この種の分析は、実行するよりも簡単に言うことができます。

しかし、理論的な分析を行っていない場合、どのようにして適切な長さを把握できますか？多くの場合、どれだけの長さを選んでもかまいません。一部の人々は、乱流遷移がが2300（パイプの場合）または500,000（平板の場合）で発生することを教えられたため、これは混乱していると考えているようです。パイプケースでは、直径と半径のどちらを選択してもかまいません。これは、臨界レイノルズ数を2倍にスケーリングするだけです。重要なことは、使用する基準が、使用するレイノルズ数の定義、および調査している問題と一致していることを確認することです。パイプフローに直径を使用することを指示するのは伝統です。 $Re$

また、一般的に言えば、分析または実験は、「特徴的な長さ」も持つ別の数値、たとえばビオ数を示唆する可能性があります。この場合の手順は、前述の手順と同じです。

場合によっては、ヒューリスティック分析を行って、関連する長さを決定することができます。ビオ数の例では、この特徴的な長さは通常、物体の体積をその表面積で割ったものとして与えられます。これは、熱伝達の問題に意味があるためです。（体積が大きいほど、中心への熱伝達が遅くなり、表面積が大きくなります。中心への熱伝達が速くなります。）しかし、これを特定の近似から導き出すことは可能だと思います。水力直径を正当化する同様の議論をすることができます。

— ベン・トレテル
ソース

Lを任意に選択し、問題が非正規であり、流動レジームと解析解がアプリオリに知られていない場合、試行錯誤が本当に唯一の方法ですか？

— ポール

私はそうは思いません。任意の長さおよび時間スケールで関連する支配方程式を無次元化することにより、有用なものを得ることができる場合があります。これは一般的に、明確な支配方程式を使用して問題を分析するときの最初のステップですが、明確な長さや時間スケールはありません。特定のケースでこれを行う方法について混乱している場合は、ここに質問として投稿してください。私が試してみます。

— Ben Trettel、2015年