正五角形を構築するための幾何学的手法の背後にある原理

正五角形を描く幾何学的な方法を発明した人々が依存していた原理や考え方について尋ねたいと思います。以下に説明する手順に従って五角形を描画する方法は知っていますが、これらの手順によってどのように通常の五角形になったかを知りたいです。彼らはルール、法律、アイデアなどに依存していたに違いありません。

注：私は、分割法ではなく、写真で説明されている幾何学的な方法について話しています。

これを行うには多くの方法がありますが、それらはすべて、と角度のサインとコサインが含むという同じ基本的な事実に依存しています。たとえば、。のでこれらの角度は、側面と直角三角形から出発することにより構築することができる、、及び斜辺。$36°$$72°$$\sqrt 5$$\cos 36° = (1 + \sqrt 5)/4$$\sqrt 5 = \sqrt{1^2 + 2^2}$$1$$2$$\sqrt 5$

OPの構成では、AEとABの長さでがどのように現れるかが明らかです。$\sqrt 5$

ユークリッドは、Elements、book IV、命題11で（やや長い曲がりくねった）構造を与え、ジオメトリのみを使用してそれが正しいことを証明しました。

通常、純粋なジオメトリではなくトリガーを使用して、OPのような「より速い」構造が正しいことを証明する方が簡単です。

「定規とコンパスのみを使用してどの正多角形を構築できるか」というより一般的な質問（つまり、計測器は許可されません）がGaussによって回答されました。奇数の辺を持つ31個のこのようなポリゴンのみが知られており、最小のポリゴンは3、5、15、17、および51個の辺を持っています。最大の既知のものは、4,294,967,295の辺を持ちます。存在するかどうか、存在するかどうか、存在する場合はそれらの数が有限か無限かは未解決の数学的問題です。

見る：

• ウィキペディア：構築可能なポリゴン
• OEIS：コンパスと直定規によって通常のnゴンを構築できるnの奇数値
• Wolfram MathWorld：Fermat Prime

リッチモンドの方法やカーライル円など、五角形を構成するための多くの方法が考案されています。古典的な方法は数学に基づいています：三角法とピタゴラスの三角形の理論。

あなたが尋ねている方法のアニメーションは、PentagonsのWikipedia記事にあります。

_{画像をクリックして展開し、アニメーションを表示します}

Wolframは、メソッドの適切な説明も提供します。

ユークリッドは、正五角形を円で囲む方法を示しました。プトレマイオスはまた、画期的な作品「アルマゲスト」で五角形の定規とコンパスの作成を行いました。