エンジニアは実際にどのような数学を使用していますか？[閉まっている]

私は数学StackExchangeセクションの出身で、私の学生の多くは大学の工学部の学生です。本当のエンジニアはどのような計算を使用しているのだろうか？私は2人のエンジニアを知っています。1つは飛行機の設計から、もう1つは計測学から。前者はごくわずかな計算、線形化による定数係数を持つODEを使用しました。後者は、微積分ではなく基本的な数学のみを使用し、一部は優れていました。エンジニアリングの学生には正直になりたいので、彼らは彼らを待ち望んでいます。

また、フォローアップの質問。約4学期の微積分学を持つことは有益だと思いましたか？たぶんあなたはそれから何も使わないかもしれませんが、それはあなたの工学スキルに積極的な外部性を持っている数学的な推論を強化しますか？

私の土木工学の学位では、力、モーメント、およびたわみの関係にODEを使用しました。私は自分でPDEを使用したことを覚えていませんが、義理の兄弟（別の大学で市民をしている）は油圧用にPDEを使用しました。

（ブリッジデザイナーとしての）実生活では、実際に微積分を使用したことを思い出せません。大学は主に理論と使用される数学モデルに集中していましたが、実際の工学設計にはすべての計算を行うコンピューターソフトウェアがあります。

大学の理論的および数学的背景には多くの利点があると思います-プロのエンジニアとして、ソフトウェアが賢明な答えを与えているかどうかを知るための基本的な理解が必要です。

（余談ですが、Excelについてお話ししたように、実際のデザインではこれを非常に多く使用しました。）

私はもともとこれをAndyTの回答に添付されたコメントとして書きましたが、dcorkingのコメントに応じて、ここで拡大することにしました。

私は30年近く卒業しましたが、私の経験はAndyTに似ています。卒業後、私はすぐに産業界に入りました。卒業以来、私と一緒に仕事をしたり関わったりした人は誰も使用したことがなく、エンジニアとして日々の仕事で微積分を使用する必要もありませんでした。私が携わったエンジニアの種類には、土木、機械、換気、採掘、電気、環境などがあります。

私のキャリアの中で、プロジェクトの評価、実行可能性の研究、および場合によっては資本支出の正当性を記述または確認しなければならない場合に、三角法、代数、統計、さらに金融数学（NPV、IRRなど）を使用しました。

私が現実の世界に現れたとき、仕事用のデスクトップコンピューターがエンジニアによって使用され始めていました。私の初期のキャリアは、紙の上でデザインを行うこととコンピューターを使用することの混合でした。最終的にはコンピューターが支配的になり、最終的にはエンジニアリングと設計の作業にコンピューター設計ソフトウェアとスプレッドシートを使用することになりました。

大学で学んだすべての数学の3分の2から4分の3の間は、仕事を始めてから一度も使ったことがない。それ以来、私が学ばなければならない数学の多くは、問題を考えて解決する方法を教える練習であることに気づきました。私のキャリアにとって特に役に立たなかったが、勉強しなければならなかった数学ユニットは、固有ベクトルでした。一部のエンジニアは、固有ベクトルが不可欠であると感じています。それは、試験に座ってから忘れてしまった1つのユニットでした！

工学コースは専門の工学協会によって認定される必要があるため、エンジニアは必要に応じて多くの数学を学ぶ必要があります。学生がコースを開始するとき、彼らはどこで終わるかを常に知っているわけではありません。

研究エンジニアや最先端の​​高度な技術に携わる人々は、彼らが教えたより多くの数学と計算を使用します。

私の講義で他の学生との会話を耳にしたことを思い出すことができ、彼が微積分を使用したのは1950年代に特定の種類の内燃モーターの設計に携わったときだけだったと彼は言いました。

業界のエンジニアのことは、すぐにマネージャーになることです。人、お金、アイデアの面倒を見ます。微積分の背景知識は役に立ちますが、今日ではコンピューターがすべての複雑な計算を行います。番号を入力して、結果を解釈します。ソフトウェアがごみを出さないようにするために、ソフトウェアがどのように機能するかの概念を知る必要があります。それが工学の学生が数学を勉強する必要がある理由の一つです。

私が学生だったときに学生会のセミナーに参加したことを思い出すことができ、経験豊富なエンジニアは、大学では科学計算機を使用する必要がありましたが、キャリアが進むにつれて、加算、減算だけの計算機を使用することになります、乗算および除算キー。

少しの背景（正直な開示）。Mech EngでBS / MSを取得し始めました。より理論的な学校で博士号を継続することを決定する前に、かなり実用的/応用学校から。その結果、私は本当のエンジニアであるとは主張していません（私の一般的な経験では、エンジニアリングで働く学者は通常平凡なエンジニアです）が、役に立つかもしれないいくつかの考えがあります。

私の研究では、ODE、PDE、線形代数（応用と抽象の両方）およびそのようなことを扱っています。時々、私は忘れていた、またはそもそも学んだことのない数学の概念を再学習しなければなりませんでした。学部に入る学生の割合が何であれ、定期的に微積分を使用する可能性が高くなります。

コンサルティングプロジェクトや学生修了のためのレースカーの構築など、より応用された活動。これらのスキルに対する需要ははるかに少ないと思いますが、時には有用です。

多くの場合、計算は実際の計算よりも概念にとって価値があります。問題を理解するために、ある量が別の量の積分であることを知りたいと思いますが、それは実際に座って方程式を鉛筆と紙で統合するという意味ではありません。特に、微分方程式の基本的な考え方を理解することは、多くの分野（動的システム、熱伝達、電子機器など）で非常に価値があると思います。

あなたが説明する経験は、かなりの理由で不合理ではありません（包括的なリストではありません）：

• 多くの実用的な問題は、高等数学で分析的に解決することができます。ただし、分析ソリューションは、一度知られると、実際の計算を単純な算術に減らします。場合によっては、指定されたソリューションを使用する方が簡単なだけでなく、実際に必要です。さまざまなコードや標準の場合、エンジニアが規定の計算手順から逸脱すると、責任を負うことになります。

• 問題の数値解法はますます簡単に手に入り、分析解法よりも広く適用できます。多くの場合、解を記憶/導出しようとするよりも、積分、ODE、PDE、シリーズで数値メソッドをスローする方が簡単です。複雑なジオメトリ、非線形動作などは、多くの場合、従来の方法が非現実的または不可能であることを意味します。そして、多くの最新のソフトウェアでは、数学はユーザーにはまったく見えません。経験の浅い1年生は、複雑な負荷シナリオで応力をシミュレートし、非線形境界条件で過渡熱伝導を計算するためのツールをすぐに学習しました（基本的に数学は不要です）。

• エンジニアリングに関連する多くの経験的データがあります。実験と経験は、場合によっては数学と同じかそれよりも良いかもしれません。2つの材料間の摩擦係数を（第一原理から）計算することさえできませんでしたが、本で調べることも、自分で測定することもできます。

これは土木技師の観点からです。

コードの仕様は、特に必要性を避けるために書かれているため、エンジニアは通常、高レベルの数学を使用しません。エンジニアが積分を正しくとらなかったために、建物や橋が故障することは望ましくありません。可能な限り、難しい数学は単純化された方程式、チャートまたはグラフに削減されました。これは、考えられるエラーの原因を制限するために行われます。

複雑な計算は、コードに配置される前に行われ、チェックされます。これにより、後でコードを使用するエンジニアは、コードが正しいことを心配する必要がなくなります。通常、コードを参照するだけで、答えが正しいことを「証明」できます。

一般向けのエンジニアリングはコードと仕様によって非常に制御されているため、一部の地域では実際に実行する数学はほとんどありません。答えは表にあります。このテーブルは、多くの数学入力と大学の研究で設計された可能性がありますが、すべてのプロジェクトで標準計算をやり直す必要をなくすためにテーブルが開発されました。これは、地震（地震）設計でも当てはまります。完全なコンピューターモデルを作成する必要があるほど特別な設計でない限り、土壌、構造、および近くの断層間の複雑な相互作用はすべて、重心を通して適用される単純な水平荷重に低減されます。

積荷の建築基準と不確実性には、他の職業に比べてある程度大きい安全係数が必要です。つまり、問題を解決するための簡略化された方法は、正確な数学的解決策と比較した場合、最終結果に大きな影響を与えません。

エンジニアが完了する日々の計算の多くは、異なる入力で同じ式のセットを使用します。これが、多くの作業を行うために巨大なExcelスプレッドシートを作成できる理由です。

これは、高レベルの数学とその背後にある理論が役に立たないという意味ではありません。これらのトピックはすべて、実際に何が起こっているかを視覚化するためにエンジニアの心を鍛えるのに役立ちます。数値シミュレーションのトピックはこれについて語っています。

あなたの見方次第で、どれも、すべてはありません。

難しいことをして、近道を学んだ後、高度な教材に進むというサイクルは、大学を通じてずっと繰り返されます。

たとえば、一度代数を取り始めたら、九九をやめました。大学レベルの数学も同じ方法です。微積分の後、ほとんどのエンジニアは微分方程式を取ります。その時点で、私は本当に微積分をやめ、それを行うためにツールに依存し始めました。

コントロール作業では、多くのラプラス変換を使用してシステムを定義します。私はラプラス変換の背後にある完全な理論を技術的に知っていますが、私はほぼ10年間で手作業でそれをやっていません。

ですから、大学の3年から4年以降、微積分を「使用」していませんが、その間に学んだことはすべて微積分の基礎を必要としました。

編集：類推の類推。これは、建物の14階の誰かに3階を何回使用するかを尋ねるようなものです。決してないかもしれませんが、3階がなければ14階もありません。

他のいくつかの回答で説明したように、ほとんどの場合、エンジニアは日々の仕事をするために微積分（またはその他の高度な数学）を直接使用することはほとんどありません。同時に、それを理解することは優れたエンジニアにとって不可欠です。

しかし、高度な数学を効果的に使用するのに十分なほど高度な数学を理解することは、高度な数学ツールがすぐに利用できるこの現在の時代に非常に役立つことができると付け加えます。たとえば、Mathcadなどのプログラムを使用すると、ユーザーはドメインを直接統合できます。これを適切に使用する方法を理解しているエンジニアは、日常的な問題を解決するための非常に効果的で正確な高速ツールを作成できます。

地盤工学技術者として、この能力が最も有用であると判明する問題を解決することがよくあります。 $S_p$

$\Delta e$$z$

（実際には物事はさらに悪いことに注意してください $e_0$

$\sigma^{\prime}$$S_p$

ただし、これを行うためのはるかに優れた、簡単な方法は、Mathcadなどのツールを使用して直接統合することです。15フィートの土柱を1フィートの増分に分割し、15のレイヤーのそれぞれで同じ計算セットを実行する代わりに、私がしなければならないことは（一度だけ）これだけです：

1. $z$ $$u(z)=0$$
2. $z$ $$\sigma_0(z)=\gamma_{\text{soil}}z$$
3. $z$ $$\sigma^{\prime}_0(z)=\sigma_0(z)-u(z)$$
4. $z$ $$\Delta\sigma^{\prime}(z)=1000\text{ psf}$$
5. $z$ $$\Delta e(z)=C_c\log{\frac{\sigma^{\prime}_0(z)+\Delta \sigma^{\prime}(z)}{\sigma^{\prime}_0(z)}}$$

$z=H_{\text{layer}}$

このアプローチは、土壌力学または基礎の教科書で教えられている方法よりも、迅速で、正確で、簡単です。ただし、適切に実装するには、基本的な計算を理解して適用する能力が必要です。

適切なツールが利用可能な場合、直接統合が一般的に使用されるアプローチよりも優れたアプローチになる、他の例（曲げの梁の構造解析、地下水流、流域ハイドログラフの体積流量解析など）があります。 。

数学を学位の中で最も難しい部分であると感じた電子技術者。

RFエンジニアリング、回路モデリング、設計を行うとき、私は非常に日常的に複素数を使用して操作する必要があります。それらは、超音波伝播をモデル化するときにも役立ちました。Excelが複素数を組み込み型として処理することをしばしば望んでいました。

制御およびフィードバックシステムを設計する場合、ODEを理解することが不可欠です。

フーリエ級数、ラプラスおよびZ変換と畳み込みの概念を理解することが必要です。

私にとって重要なことは、数学が何であるかを知り、必要なときに数学者に助けを求めることができることです。私が相談した数学者は、常に実際的な問題の解決を喜んで喜んでいます。

計算科学者として、私はさまざまな種類のエンジニアリングの問題を解決するために使用するソフトウェアツールを開発するエンジニアと密接に協力しています。私の仕事は偏微分方程式と数値解析に大きく依存しています。積分、微分、テイラー級数、極限、グリーンの定理、最適化、変化率などはすべて私が毎日使っている基本的なツールです。

私の意見では、プロのエンジニアはツールのユーザーであり、自分はツールメーカーであると考えています。エンジニアは、その作成方法の複雑さをあまり知らなくてもツールを使用できます...しかし、手元の仕事に適切なツールを選択するには、選択する幅広いツールとその利点/欠点を理解する必要があります。ある数値ツールが他の数値ツールよりも優れていることを理解する唯一の方法は、そのツールの構成要素を理解する必要があります。このためには、微積分が絶対に必要です。

今日、ソフトウェアエンジニアとして使用した計算の例を示します。

多くの要素グループのそれぞれで演算を実行する計算時間を推定していました。個々のグループにかかる時間は、グループの2乗のサイズに比例します。

グループのサイズの分布はわかりませんが、使用するさまざまなアルゴリズムによっては、正規分布、べき乗分布、指数分布などとしてモデル化できる場合があります。それらのそれぞれの分布のパラメーターに影響を与えます。

$X^2$$X$いくつかの分布からサンプリングされる基本的な計算の知識を必要とする:)

一般的に、このようなものは時々ポップアップします。微積分に関連する計算を実行するソフトウェアを作成するという観点から、これを明示的に使用したことも、信頼できる意思決定ツールとして使用したこともありません。通常、これは「いくつかのことを試して、何が最適かを確認する」ために残されていますが、基本的なホワイトボードのブレインストーミングまたは推定には間違いなく役立ちます。この場合、どのような種類のディストリビューションが最適に機能するかを理論化し、そのパスを試すことに努力を集中させることができます。確かに、微積分の非常に基本的な基礎は、いくつかのソフトウェアシステムのダイナミクスを理解するのに役立ちます。おそらく4学期はやり過ぎです。

私はコンピューター工学の学士号を取得しています。私はまだキャリアの初期段階です（現在はほとんどがソフトウェアですが、物事のハードウェアの側面にもっと関与しようとしています）が、ここに私の経験があります：

本当のエンジニアはどのような計算を使用しているのだろうか？

学校でも他の場所でも、私にとって最もよく使われるトピックはフーリエ変換でした。電気工学の授業で何度も登場しましたが、現在は電気通信で仕事をしており、比較的頻繁にさまざまな形で登場しています。

とはいえ、実際の数値や計算（学校の外ではめったに見たことがない）よりも、私を最も助けてくれたのは概念と背景であり、方程式を通して物理的現実を理解することです。盲目的にルールを守り、計算を行う方法を知ることは、学校でうまくいくのに役立ちます（教授に依存します）が、私の経験では、正確な数値の答え。職場では、簡単な方法で答えを得ることができます-数値をシミュレータに接続します。しかし、概念的な理解があれば、何を期待すべきかがわかり、何かが間違っている場合に気付くでしょう。

私の経験から、最も重要なことは、方程式が物理システムをどのように記述し、前後に変換できるかをよく理解することだと思います。つまり、方程式によって物理システムの理解を深めることができます。

多分あなたはそれから何も使わないかもしれませんが、それはあなたの数学的推論を強化します。

はい！物理的なシステムを数学用語で記述し、その動作を理解し予測する能力は、学校で得たスキルであり、エンジニアにとって非常に重要だと思います。

これは、誰かが機械工学の博士号を取得するという観点から書かれています。私の数学の背景は、応用数学プログラムの博士課程の学生のそれに匹敵します（間違いなく劣ります）。

他の人が示したように、この質問に対する答えは特定のエンジニアの仕事に大きく依存します。多くの場合、高度な数学はまったく役に立ちません。土木技師は、例としてコードベースの作業に言及しました。

計算流体力学で働く博士課程の学生として、私はPDEを通じてすべてを合理的にしっかりと理解する必要があります。数学は、実験者が温度計をツールと見なすように、私が問題を解決するために使用するツールです。私と他のエンジニアが使用する数学モデル（通常はコンピューターで解決）を開発しています。

学部の数学教育で取り上げられているトピックで、仕事に役立つと思うもの：

• 積分、微分、およびベクトル計算（基本的にはすべて。ただし、ラグランジュ乗数は学部生から1回または2回しか使用していませんが）

• 確率と統計（ただし、私が持っていたクラスはかなり馬鹿げていました）

• 微分方程式（常微分方程式と偏微分方程式の両方）

また、私は魅力的なことがわかった学部の複雑な分析コースを受講しましたが、それ以来ほとんど使用していないことを認めなければなりません。私が受講し、有用だと思った大学院数学コースには、漸近解析、測定理論的確率（測定理論ではなく、直接、より慎重に考えること）、および数値PDEがあります。

しかし、私の学部生の微分方程式の背景はかなり不十分でした。基本的なODEクラスは教えるのが難しくなければなりません。そこにいる学生の75％はODEについてあまり知る必要がなく、他の25％は科目をよく知る必要があるからです。（特に、このテーマについてもっと書くことができました。どの領域が不十分だと思いますか。）

関連するトピックに対処するために、少し接線を進めたいと思います。高度な数学は実際よりも役に立たないと考えている多くのエンジニアがいます。そして、彼らはしばしばそれについて非常に熱心です。一部のエンジニアは、たとえ何らかの助けになるとしても、あらゆる種類の数学の使用をまったく避けようとするようです^[1]。私の研究グループから人々を募集しようとしたある会社は自慢していますあたかもそれが私たちを誘惑するかのように、彼らは数学を何もしません。正直に言うと、彼らは内部の冗談になりました。彼らの仕事の多くはコードベースであり、コードは保守的である傾向がありますが、すべての場合に常に正しいとか役立つとは限りません。誰かが「工学的判断」をしなければならないとき、私は判断が推測に基づくものではなく、証拠に基づいた数学的モデルに基づいていることを望みます。（高度な数学の有用性に関するこの意見がなぜ存在するのかはわかりませんが、それは数学の難しさと無知のせいもあると思います。）

高度な数学を使用しないエンジニアは、高度な数学に基づいたエンジニアリングソフトウェアを盲目的に使用する潜在的な落とし穴を少なくとも認識しておく必要があります。多くのエンジニアは、ソフトウェアがその結果に間違いがないかのように信頼しています。私はシミュレーションソフトウェアを製造する政府機関から資金提供を受けています（そしてソフトウェアの開発を支援しています）。彼らのエンジニアの1人は、新しい物理学を発見したと主張するユーザーにひどく腹を立てています：断熱火炎温度（最高温度第一法則による燃焼で可能な温度）。実際に起こったことは、シミュレーションソフトウェアが「TVD開発者は、（おそらく暗黙的に）ソフトウェアを使用している人々が事態が悪化したことを認識し、解像度を追加すると想定しました。私の印象は、ソフトウェアを劇的に遅くするので、ソフトウェアを完全にしたくないということですどうやらこの問題が何度も発生し、フールプルーフアルゴリズムが追加されたようです。

これは、高度な数学が常に必要だと言うことではありません。一部のエンジニアは、数学的洗練度で何かをやり過ぎるのは楽しいと考えるかもしれませんが、問題を解決する必要がない場合は、おそらく時間の無駄です。

_{[1]ちなみに、プログラミングについても同じことが言えます。MSアドバイザーが教えてくれたクラスの場合、彼はExcelで「不可能」な割り当てを設計しました。これは、大規模な線形連立方程式の解を何度も必要としたためです。これを実行する最も簡単な方法は、数十行のコードを書くことです。彼は、クレジットを受け取るためにコードを提出するよう人々に要求しました。彼はまだスプレッドシートを受け取っています！どうやらExcelでこれを行うことができますが、手動でマトリックスを入力する必要がありました！500x500のマトリックスが必要なときは、決して簡単でも楽しいことでもありません。}

この質問に非常に簡単に答えなければならない場合、私は言うでしょう：

（1）エンジニアはコードを使用します。適用するコードは計算を必要とせず、計算とソフトウェアのみを必要とします。

（2）ほとんどのエンジニアは、他の人が生涯のキャリアで書いたコードを使用します。

（3）上位のものはコードとソフトウェアを作成および変更し、数学を使用します。それらは複雑な問題を他の人のために単純化し、それらをテーブル、ソフトウェア、および算術式に入れます。

答えはすべて有効なポイントを一般的に作成しますが、エンジニアがかなり標準的な2年の数学カリキュラムを取る本当の理由を見逃していると思います：コースワークの残りの学習の効率。オリジナルのカリキュラムを考案した人々は、微積分学があなたの心などを行使する「リベラルアーツ」の基礎を作ることに興味がありませんでした。彼らはエンジニアを平易でシンプルに訓練したかったのです。

しかし、エンジニアを訓練するには、力学、流体、波などの科目を教える必要があります。これらのさまざまなトピックを効率的に学習するには、微積分と線形代数が必要です。確かに、いくつかの非常に賢い基本的な引数を考案することで、微積分の引数を置き換えることができますが、さまざまなケースを含む微積分を介して1つの引数を与える方がはるかに良いです。同じことが線形代数についても言えます。たとえば、線形システムのヌル空間が自明であるかどうかという概念は、線形ODEの類似の概念と非常にうまく結びついています。

この方法を学ぶことがより良いエンジニアになるかどうかについて、一日中議論することができますが、教えられた人には明らかなことです。これはエンジニアをトレーニングする非常に効率的な方法です。そして、教えられている数学をどれだけよく理解するかは、他の工学カリキュラムをどれだけよく理解するかに直接影響します。

ピッツバーグのカーネギーメロン大学（1970年代半ば）で「特別学生」としてコースを受講していたとき、「工学数学」は線形代数、常微分方程式および偏微分方程式、べき級数やフーリエ級数ソリューションとLaPlace変換。これは「重い」工学学校であり、多くは「より軽い」プログラムを持っています。