誘電体における電力損失の数学的表現

私は方程式を証明しようとしています $$ \ frac {\ bar {P}} {V} = \ frac {1} {2} E_0 ^ 2 \ sigma_ {AC} $$ これは次のように書き換えられます。 $$ \ begin {align}   \ frac {\ bar {P}} {V}＆amp; = \ frac {1} {2} E_0 ^ 2 \ sigma_ {AC} \\   ＆amp; = \ frac {1} {2} E_0 ^ 2 \ \ omega \ \ epsilon_0 \ \ epsilon ^ {''} _ r \\   ＆amp; = \ frac {1} {2} E_0 ^ 2 \ \ omega \ \ epsilon_0 \ \ epsilon_r ^ {'} \ \ tan（\ delta） \ end {align} $$ ここで、$ \ bar {P} $は、次式を満たす時間平均電力損失を表します。 $$ \ bar {P} = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T U \ I \ dt、 $$ ここで、$ T = \ frac {2 \ pi} {\ω} $は期間、$ U = U_0 e ^ {j \ωt} $は複素正弦波電圧、$ I = j \ω\ε^です。 {'} _ rC_0U + \ω\ε^ {' '} _ rC_0U $。指示は使用するように言う $$ \ begin {align} U_0＆amp; = E_0h \\ C = = \ epsilon_r \ epsilon_0 \ frac {A} {h} \\ V＆amp; A = A \ h \\ \ sigma_ {AC}＆amp; = \ omega \ epsilon_0 \ epsilon ^ {''} _ r = \ omega \ epsilon_0 \ epsilon ^ {'} _ r \ tan（\ delta）\\ \ tan（\ delta）＆amp; = \ frac {\ epsilon ^ {''} _ r} {\ epsilon ^ {'} _ r} \ end {align} $$

私が直面する問題は、次のような主要な整数部分を解いた後です。 $$ \ε^ {''} _ r *（F（T） - F（0））+ j * \ε^ {'} _ r（（F（T） - F（0）） $$ ここで$ F（t）= e ^ {2j \ωt} $であり、私は簡単のためすべての定数を無視しました。 $ F（T）$は$ \ exp（j * 4 * \ pi）$の1で、$（F（T）-F（0））$はゼロになります。

根平均が最初に$ U $と$ I $の両方を二乗することを考えたが、これは$ \ sqrt {\ epsilon ^ {'' 2} _r + \ epsilon ^ {'2} _r / 2} $ term証明結果につながらないようです。

私はいくつかの基本的な計算の基本が欠けているかもしれないという気がします。私はあなたが提供することができるどんな助けでも本当に感謝するでしょう。

まあ、この式は、体積$ V $の中に誘電率$ \ epsilon $を持つ誘電体上の電場エネルギー$ U $の標準的な表現ですが、いくつか置き換えられています。

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/engfie.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy

$$ U_V = \ frac {1} {2} \ int_V \εE ^ 2 dV $$

最後の表現はマクスウェルから知られています。そしてウィキペディアで証明されています。

通常、この表現は誘電体$ \ epsilon_0 \ epsilon_r $の体積積分で表されます - あなたは面積$ A $と高さ$ h $の一種の円柱であると仮定しました - そしてこの場合は一般的な電場の場合 - その円柱では定数$ E_0 $と仮定されますか？ - 。

だから。ボリューム内のエネルギーの表現から始めるので、解く必要がある積分は 時間ではなく、スペース 。

その後、上の式で変数に入力し、励起が$ \ω$で正弦波的に変化すると仮定して、単一の周波数期間$ 2 \ pi / \ omega $に再度平均します。