三角要素の数値方向導関数を計算する

各ノードが$ i = 0：2 $に対して$ r_i = x_i、y_i、z_i $に位置し、ノードに関連するスカラー値$ \ phi_i $を持つ、ノード0、1、および2を持つ三角形があるとします。 $ u $という方向を与えられた三角形要素の重心で、三角形の重心で方向微分$ \ nabla_u \ phi $を評価します。

各エッジで個別に$ \ nabla_u \ phi $を評価する方法を考え出しましたが、重心で値を取得する方法はわかりません。

mechanical-engineering

— nrabbit
ソース

そのラグランジュ要素ならば、解は各三角形の内側で線形です。一次関数の勾配は一定です。 FEMは各要素で区分的線形解を計算するため、エッジの勾配は一意ではありません。どのようにエッジ勾配を計算しましたか？

— Paul

エッジに対してノード間の距離にわたって各ノードの値を使用しました。$（\ phi_1 - \ phi_0）/（r_1 - r_0）$

— nrabbit

重心座標を使用します。

— joojaa

最も簡単な方法は線形関数a + b x + c yを当てはめることです。 a、b、cを見つけて方程式系を解きます。

a + b x0 + c y0 = phi0 a + b ×1 + c y1 = phi1 a + b ×2 + c y 2 =φ2

（u1、u2）が方向uの単位ベクトルの場合、方向導関数は次のようになります。b u1 + c u2

— sam
ソース

直感でわかります。数値法ではありません

— Fennekin