一定の体積と与えられた効率をもつフィン内の熱伝達

有効長さが L その効率は次式で与えられます。$$η= exp（-0.32mL）$$ここで$$ m = \ sqrt {\ frac {hP} {kA}} $$ P まわりです A はフィンの断面積です。

フィンの体積が一定のままであれば、次のうちどれが正しいですか？

ひれの長さを増やすことによって...

1. 熱伝達が増加します。

2. 熱伝達が減少します。

3. 熱伝達は増加してから減少します。

4. 体積が一定であるため、熱伝達は一定のままです。

この問題の数学は次のようになります。 フィンは円形の断面と一定の容積を有する。体積、長さ、半径の関係を書くことができます。$ V = L * pi * r ^ 2 $

半径についてそれを解く：$ r = \ sqrt {\ frac {V} {L \ pi}} $

効率は、フィンの面積の100％がベースの温度である場合に、そのフィンがどれだけ効果的であるかで割ったフィンの有効性の比率です。総熱伝達は効率×面積に比例します。

$ Q = hA \ eta = hL \ pi r = hL \ pi \ sqrt {\ frac {V} {L \ pi}} = h \ sqrt {L \ pi V} \ eta $

効率のために私達は同じような代用をすることができます。 $ \ eta = exp（-0.32 \ sqrt {\ frac {hP} {kA}}）= exp（-0.32 \ sqrt {\ frac {h \ pi r} {k \ pi r ^ 2}}）= exp（ -0.32 \ sqrt {\ frac {h} {kr}}）= exp（-0.32 \ sqrt {\ frac {h} {k \ sqrt {\ frac {V} {L \ pi}}}}）= exp（ -0.32 \ sqrt {\ frac {h} {k \ sqrt {\ frac {V} {\ pi}}}} L ^ {1/4}）$

この2つの用語をまとめると、この質問の目的のためにLではないものはすべて無視できます。

$ Q =もの* L ^ {1/2} * exp（ - もの* L ^ {1/4}）$

Lを含む最初の項はLと共に増加し、2番目の項は減少し、明らかに同じ割合ではありません。 "もの"にダミーの値を入れると、このグラフは水平方向にL、垂直方向にQとなるように得ることができます。それは明らかに上下します。

この数学のすべてが本当に必要というわけではありませんでした。常識で十分でしょう。フィンの方程式は、フィンの先端からの熱伝達を考慮していません。それには追加の用語が必要です。私たちが非常に短いフィンを持っている場合、それは周りに$ \ sqrt {very} $大きくなり、そして非常に小さな領域を持つことになります（とても＆gt; $ \ sqrt {very} $）。たとえそれが100％の効率を持っていても、非常に少ない熱伝達があるでしょう。フィンが非常に長い場合、ほとんどのフィンは熱源から非常に遠く離れていて寒いので、効率はひどいものになります。途中のある時点で最適なものがあります。

あなたが提起した問題に対する解決策は、PとAの間の関係に依存するでしょう。この関係は、それぞれのタイプの断面積（円、長方形など）に特有です。それで、あなたはこれに答えるために断面積の正確な形を指定する必要があります。