最適制御則の安定性

線形最適制御、線形二次レギュレータでは、次の形式のシステムがあります：x = Ax + Bu、最適制御法則Uは状態フィードバックであり、リカッチ方程式解と状態ベクトルの関数です。安定性について、最適制御則Uは常に安定していますか？システムは常に安定していますか？デモンストレーションに関する参考資料を教えてください。

したがって、あなたの質問を正式に繰り返すために、無限の地平線連続時間最適制御問題を考えます

$J^*(x_0) = min \int_0^{\infty} x(t)^TQx(t)+u(t)^TRu(t)dt$

基本的にシステムダイナミクスと初期条件のみの制約があります

$\dot x (t) = A x(t) + B u(t) \\ x(0) = x_0$

コスト行列は正の半正定値、正定値と仮定します。$Q = C^TC$$R$

ペアならば、制御可能であり、ペア観測可能である、我々は見つけることができるユニークな、正定解 ARE（代数リカッチ方程式）のために$(A,B)$$(A,C)$$P^*$

$P^* A+A^TP^* -P^*BR^{-1}B^TP^* + Q = 0$

このソリューション作成できる3つの素晴らしいステートメントがあります。$P^*$

1. 最適なコストは単純に$J^*(x_0)=x_0^TP^*x_0$
2. 最適な入力は$u^*(t)=-R^{-1}B^TP^*x^*(t)$
3. 閉ループは漸近的に安定です。$\dot x^* = (A-BR^{-1}B^TP^*)x^*$

ステートメント3の証明のアイデアは、最適なコストをリアプノフ関数としてとることです。

$V(x) = x^TP^*x$、これは正定値です（は正定値であるため）$P^*$

したがって、が負の半正であることを示す必要があります。$\dot V$

$\dot V \ = 2x^TP^*\dot x \\ \quad = 2x^TP^*(A-BR^{-1}B^TP^*)x \\ \quad = 2(x^TP^*Ax-x^TP^*BR^{-1}B^TP^*x) \\ \quad = x^T(P^*A+A^TP^*)x - 2x^T(P^*BR^{-1}B^TP^*)x \\ \quad = -x^TQx - x^TP^*BR^{-1}B^TP^*x$

両方のならびに半正定値であるので、負の半正定値です。$Q$$P^*BR^{-1}B^TP^*$$\dot V$

これにより、原点での安定性が証明されます。

今、最大不変集合を検討し、出力を検討します。両方のでならびに非負であり、それらは両方とも独立してゼロでなければなりません。我々ことを知っています。また、であることがわかります。$\{x \in \mathbb{R}^n|\dot V(x)=0\}$$y = Cx$$x^TQx$$x^TP^*BR^{-1}B^TP^*x$$x^TP^*BR^{-1}B^TP^*x=x^TP^*BR^{-1}RR^{-1}B^TP^*x = u^TRu \equiv 0$$u \equiv0$$y^Ty \equiv 0$

$y = Cx = 0 \\ \dot y = CAx = 0 \\ \ddot y = CA^2x = 0 \\ \vdots$

（A、C）が観測可能であると最初に仮定したので、行列はフルランクであり、は最大不変集合不変解のみ。$\begin{bmatrix}{\ C \\CA\\ \ \ \vdots}\end{bmatrix}$$x \equiv 0$$\{x \in \mathbb{R}^n|\dot V(x)=0\}$

これにより、（最終的に）原点は漸近的に安定します。

どこかで間違いを犯さなかったことを願っています。後でもう一度調べます。さらに参照するために、たとえばこのペーパーをお読みください。