変更された正弦曲線を計算する方法は？

2次元のカムプロファイルを設計しています。位置と角度の変化を描くために「修正サイン」法を使用したいと思います。（添付のスケッチを参照）。変更された正弦曲線は、実際には曲線の最初と最後の1/8のサイクロイド曲線と、曲線の中央の7/8の正弦曲線の組み合わせです。終端速度がゼロのときに簡単に使用できます。ただし、多くの場合、カムプロファイルを1つの速度（おそらくゼロ）から一定の終端速度に単純に移行する必要があります。終端速度は、変位図上の単純な角度です。

プロファイルは次によって定義されます。

$$y= \begin{cases} \frac h{4+\pi}\left(\pi\frac\theta\beta-\frac14 \sin \left(4 \pi \frac\theta\beta \right) \right), & 0\lt\theta\lt\frac18\beta \\[2ex] \frac h{4+\pi}\left(2+\pi\frac\theta\beta-\frac94 \sin \left(4\pi\frac\theta{3\beta}+\frac\pi3 \right) \right), & \frac18\beta\lt\theta\lt\frac78\beta \\[2ex] \frac h{4+\pi} \left(4+\pi\frac\theta\beta-\frac14 \sin \left(4\pi\frac\theta\beta \right) \right), & \frac78\beta\lt\theta\lt\beta \end{cases}$$

達成できる最大速度はため、曲線の前半だけが必要に応じて使用できます。$45\deg \left( \frac\pi4 \right)$

例として、

角度0のポイントからポイント勾配度に至る曲線を設計するためにどの方法を使用しますか。$(0,0)$$(3,2)$$30$

上記の方程式の係数とは、ポイント勾配が等しくなるような曲線を作成しますか？$h$$\beta$$(3,2)$$\frac{30}{180}\pi$

エルミート補間を使用します。次の4つの関数を使用します。

$h_1 = 2s^3 - 3s^2 + 1$

$h_2 = -2s^3 + 3s^2$

$h_3 = s^3 - 2s^2 + s$

$h_4 = s^3 - s^2$

そして、これらを次のように結合します。

$output = (h_1 * startPoint) + (h_2 * endPoint) + (h_3 * gradientIn) + (h_4 * gradientOut)$

4つの関数の値は補間パラメーターですから、はからなります。あなたの指定されたが、になりそうされなかったとあなたが指定されているようです：ようになります条件を削除しますゼロを掛けます（開始点と勾配）：$s$$0$$1$$output$$startPoint$ $(0, 0)$$endPoint$ $(3, 2)$$gradientIn$$0$$gradientOut$$tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x_s = (h_2 * x_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 3) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

$y_s = (h_2 * y_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 2) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

このタイプの補間曲線に関する詳細情報が必要な場合は、数学的な説明とより機能的な説明があります。