発射体に当たった浮遊体の運動量

問題

xy平面で2D問題を提案しています。半径Rと質量Md（速度なし）の自由に動くディスクがあり、そこに発射物が発射されるとします。発射体（速度Vp、質量Mp）には、x軸に平行な速度があります。ディスクの中心を原点にすると、発射体はx軸より上の距離Yでディスクに接触し、スティックします（エネルギーの損失はありません）。

質問

ディスク/発射体システムの終了速度と角速度が何であるかを知りたいです。エネルギーの保存を使用すると、2つの変数になり、システムを作成するために他に何を使用するのかわかりません（運動量の保存に非常に錆びていますが、解決策がどこにあるのでしょうか？）。

免責事項

あなたが私の宿題をすることを心配しているなら、私は学生ではありません。当時、私はこれをまばたきしたことはありませんでしたが、今...ソフトウェアエンジニアリングは私に間違ったXDを行いました

mechanical-engineering energy

— コーブフォン
ソース

スケッチと思いついた方程式を投稿できますか？面積の二次モーメントと角運動量をどのように計算しましたか？

— rul30

明日スケッチを投稿できます。エネルギーyeildsの保全から式：

— Corbfon

病気あなたにヒントを与える、重力の相互の中心が、その軌道を保つ

— joojaa

（1/2）*融点Mvは^ 2 =（1/2）*メリー Vdを^ 2 +（1/2）*同上* Wdの^ Wdはオメガの貧代替である2

— Corbfon

@joojaa助けが必要ですか？「軌跡」とは、速度に関係なく方向を意味するので、質量の速度の共有中心はx軸に平行であると言っていますか事前に決定される速度は、x軸に平行なものだけです。ディスクに伝達される力は、x軸に平行ではないディスクの半径に沿って伝達されるため、これはありそうにないと思います。これは、ディスクの中心から-1（Y / R）^ -sin角度に沿ってであろう

— Corbfon

回答:

それは任意の衝突問題を解決することになると、適用することは常に重要であり、線形運動量の保存や、角運動量の保存を。これにより、最初の2つの方程式が得られます。

線形運動量の保存

2つの剛体1と2の場合、線形運動量の保存は次のようになります。

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

$m_1 \mathbf{u}_1+ m_2 \mathbf{u}_2 = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2$

$m_i$ $i$ $\mathbf{u}_i$ $i$ $\mathbf{v}_i$

ボディ1を発射体とし、ボディ2を円盤とします。ディスクは最初は静止しているため、これを次のように単純化できます。

m_{1} u_{1} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

$m_1 \mathbf{u}_1 = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2$

これは、衝突を解決するために必要な最初の方程式です。

角運動量の保存

$P$

(r_{1} - r_{P}) \times (m_{1} u_{1}) + I_{1} ω_{1} k + (r_{2} - r_{P}) \times (m_{2} u_{2}) + I_{2} ω_{2} k = (r_{1} - r_{P}) \times (m_{1} v_{1}) + I_{1} Ω_{1} k + (r_{2} - r_{P}) \times (m_{2} v_{2}) + I_{2} Ω_{2} k

$\left(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_P\right)\times\left(m_1 \mathbf{u}_1\right)+I_1\omega_1\mathbf{k}+ \left(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_P\right)\times\left(m_2 \mathbf{u}_2\right)+ I_2\omega_2\mathbf{k} = \left(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_P\right)\times\left(m_1 \mathbf{v}_1\right)+I_1\Omega_1\mathbf{k}+ \left(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_P\right)\times\left(m_2 \mathbf{v}_2\right)+ I_2\Omega_2\mathbf{k}$

$\mathbf{r}_i$ $i$ $\mathbf{r}_P$ $P$ $I_i$ $i$ $\omega_i\mathbf{k}$ $i$ $\Omega_i\mathbf{k}$ $i$

$\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_2$

r \times (m_{1} u_{1}) = r \times (m_{1} v_{1}) + I_{2} Ω_{2} k

$\mathbf{r}\times\left(m_1 \mathbf{u}_1\right)= \mathbf{r}\times\left(m_1 \mathbf{v}_1\right)+ I_2\Omega_2\mathbf{k}$

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=-\sqrt{R^2-Y^2}\mathbf{i} + Y\mathbf{j}$

$z$ $\mathbf{k}$ $\mathbf{k}$

m_{1} (r \times u_{1}) \cdot k = m_{1} (r \times v_{1}) \cdot k + I_{2} Ω_{2}

$m_1\left(\mathbf{r}\times\mathbf{u}_1\right)\cdot\mathbf{k}= m_1\left(\mathbf{r}\times\mathbf{v}_1\right)\cdot\mathbf{k} + I_2 \Omega_2$

(a \times b) \cdot c = (b \times c) \cdot a = (c \times a) \cdot b

$\left(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\right)\cdot\mathbf{c}= \left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right)\cdot\mathbf{a} = \left(\mathbf{c}\times\mathbf{a}\right)\cdot\mathbf{b}$

式を次のように書き換えることができます。

m_{1} r^{*} \cdot u_{1} = m_{1} r^{*} \cdot v_{1} + I_{2} Ω_{2}

$m_1\mathbf{r^*}\cdot\mathbf{u}_1= m_1\mathbf{r^*}\cdot\mathbf{v}_1 + I_2 \Omega_2$

$\mathbf{r^*}=\mathbf{k}\times\mathbf{r}=-Y\mathbf{i}-\sqrt{R^2-Y^2}\mathbf{j}$

この形式では、衝突問題を解決するために必要な2番目の方程式があります。

最後の3番目の方程式

この問題を解決するには、もう1つの式が必要です。この最後の方程式は、2つの物体が互いにくっつくという事実から生じます。

（（あなたの質問では、衝突の結果としてエネルギー損失がないことを指定します。ただし、衝突後に両方の物体が付着した場合、システムの総運動エネルギーを実際に保存することはできません。衝突は完全に弾性的（エネルギー損失なし）であるため、衝突後は両方の物体が互いに反発する必要があるため、運動エネルギーの保存が適用されないことが重要です。

*一方のボディをもう一方のボディに固定する結合が完全に堅くない場合（つまり、スプリングが結合しているようにボディを引き離すことができる場合）、理論的には機械的エネルギーを節約できます。ただし、これにより、2つのボディ間で複雑な振動動作が発生します。これは、減衰のないマススプリングシステムによく似ています。）

2つの物体が衝突後に固執する場合、接触点での物体の速度が同じであることが重要です。これにより、次の運動学的状態が発生します。

v_{1} = v_{2} + Ω_{2} k \times r

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 + \Omega_2\mathbf{k}\times\mathbf{r}$

これは最終的な方程式を与えるために単純化できます：

v_{1} = v_{2} + Ω_{2} r^{*}

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 + \Omega_2\mathbf{r^*}$

要約すれば

3つの方程式が導き出されました。

m_{1} u_{1} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

$m_1 \mathbf{u}_1 = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2$

m_{1} r^{*} \cdot u_{1} = m_{1} r^{*} \cdot v_{1} + I_{2} Ω_{2}

$m_1\mathbf{r^*}\cdot\mathbf{u}_1= m_1\mathbf{r^*}\cdot\mathbf{v}_1 + I_2 \Omega_2$

v_{1} = v_{2} + Ω_{2} r^{*}

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_2 + \Omega_2\mathbf{r^*}$

v_{1} v_{2} Ω_{2}

$\mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \Omega_2$

これらは、それぞれ衝突直後の発射体の速度、ディスクの中心の速度、およびディスクの角速度です。

ベクトル代数を使用することにより、3つの未知数についてこれらの方程式を解くことができます。次に、以下を含むいくつかの置換を実行する必要がある場合があります。

m_{1} = M_{P}

$m_1=M_P$

m_{2} = M_{D}

$m_2=M_D$

I_{2} = \frac{1}{2} M_{D} R^{2}

$I_2 = \frac{1}{2}M_D R^2$

u_{1} = V_{P} i

$\mathbf{u}_1=V_P \mathbf{i}$

— インボルティウス
ソース

素晴らしい、あなたの詳細な説明をありがとう。上記の角運動量方程式の保存の参考にしてください。それは私が行方不明になっている作品だと思います。

— コーブフォン

提案されたアプローチと少しの推論。

最終的な状況を表示する方法は複数あります。接触の瞬間にそれを見て、発射体の最終速度がVd + Wd * yであることがわかります。これは機能しますが、面白くありません。より良い方法は、発射体の最終的な平均速度がちょうどVdであると考えることですが、中心から外れて回転するオブジェクトに固定されています。

初期質量、慣性モーメント、オフセットyを使用して、最終慣性モーメント（I）、中立軸、および中立軸からの発射体のオフセットを計算します。オフセットrを呼び出します。

現在、並進と回転という2つのエネルギー用語があります。総質量* V ^ 2 + I * W ^ 2 =元の発射エネルギー。

ただし、VとWの比率はわかっているため、どちらかを置き換えて削除できます。

衝突の結果、ある程度の衝撃（時間の経過とともに積分される力）が生じました。同じインパルスが回転速度と並進速度を引き起こしました。

インパルス= M * V
インパルス* r = I * W

したがって、W = M * V * r / I

Vの代わりに解決してからW

— フィル・スウィート
ソース

最初に、最初に答えを出してくれてありがとう！解決策について質問があります。あなたはそれを言ったL = I * W（ここで、Lは角運動量、およびL = M * V * r）、これは角運動量の保存です。この場合、それは半径rの弾丸の線形運動量のすべてが共有質量の新しい角運動量に変換されたことを意味しませんか？共有された質量の線形運動量もありませんか？もしそうなら、それはM * V * rのすべてが角運動量の作成に向かわないことを意味しますが、一部はその線形運動量を作成し、したがってL < M * V * r？

— コーブフォン

@Corbfonまあ、それは本当であるいくつかの静止点が空間にあります。最終的なシステムには、瞬時の回転中心があります。しかし、CGの移動速度と回転速度を直接計算しました。平行軸定理は、エネルギーが両方の方法で同じであることを示します。

— フィルスウィート

@Corbfon CG速度の変化と回転速度の変化の両方を支配するインパルスは1つだけです。しかし、その衝動の大きさは、M、I、および発射体のエネルギーに依存します。1/2 Mで同じIの大きな直径の薄いディスクと比較してください。インパルスは小さくなりますが、1/2を超えます。ディスクのCG速度は大きくなりますが、回転速度は小さくなります。

— フィルスウィート