仮想作業の原理とカスティリアーノの（第2）定理

私はオンラインでいくつかの文献を調べましたが、2つの異なる方法の良い比較を見つけられなかったようです。どちらも、連続体のある点での変位と勾配（シータによる回転）を決定するために使用されます。Formerは、要素のひずみエネルギーに等しい仮想単位力を使用し（対象の変位を乗算した場合）、後者は、ゼロになりがちな仮想力に関して微分を使用します。

どちらがより効率的で、どちらがより正確ですか？カスティリアーノよりもバーチャルワークを選択するのはなぜですか？

短い回答： Castiglianoは、大規模で複雑な構造のいくつかの重要なポイントで正確な解を迅速に提供しますが、仮想作業は、そうでなければ解決できない複雑なシステムに使用可能な近似モデルを提供します。

カスティリアーノの定理と仮想作品は、同じ数学的コインの両面です。カスティリアーノの手法は、仮想作品よりも古いものですが、仮想作品の基本原理から始まります。これは、変位が線形解析によって解決できる仮想作業のより単純な半分を形成しますが、仮想作業を使用して答えをより速く取得します。後半では、仮想作業について説明します。ここでは、（微分方程式を解いて、係数の束を投入せずに）線形解析で変位を解決できませんでした。代わりに、仮想作業に頼って、境界条件。

上記のように、エンジニアがCastiglianoの方法に使用するほとんどのアプリケーションでは、主な原理は、線形弾性梁またはトラス理論から知られているものを使用し（これらの構造の複数の側面で使用できます）、構造をすばやく解くことです非常に珍しい力を受けた。力の方程式は、静的に確定する構造の多くの未知の力に関して記述され、その後、未知の力が削除されます。未知の（または異常ではあるが既知の）力の1つが適用され、線形モデルとテーブル単一の力に使用すると、構造のさまざまなポイントでの実際の変位をすばやく知ることができます。単一の力は、元の力のニュートンあたりの反応点で500ニュートンの力、または5ニュートンになる可能性があります。これが記録されます。未知の力が取り除かれ、新しい力が追加され、テストされます。これらのすべての反作用と力が見つかると、Castiglianoの方法は、負荷状態全体の最終的なたわみがどうなるかを解くことができます。これは、解決された負荷状態の表にはない場合があります。これは、実際のシステムで発生する弾性力のあるサポート、それらが加える力に基づいてたわむサポートがある場合に特に役立ちます。このアプローチの唯一の制限は、テーブルの詳細度と重ね合わせの原則です。重ね合わせを使用してシステムを処理できる限り、

仮想仕事の原理はこの原理を超えています-代わりに、未知の係数を持つ変位の方程式を書くだけです。これは、支配的なDEの解決策になる場合もあれば、完全に不正確になる場合もありますが、すべての境界条件（点Aで、変位が0など）を解決できる必要があります。梁の場合、変位方程式の2次導関数をとると、モーメント方程式が得られ、3次結果をとると、せん断方程式になります。プレートやその他の連続体の場合、変位はひずみと長さの積です。応力項は、剛性テンソルとして書くことができますひずみの倍数なので、原理的には、仮想ワーク全体を未知の変位方程式で簡単に表すことができます。したがって、これらの未知の係数を解決して、仮想仕事（静的システムの場合はポテンシャルエネルギー、動的システムの場合はポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの合計の両方）を最小化するだけです。

この例は、有限要素解析に使用される方程式でよく示されます。この場合、通常の4次変位方程式の代わりに、3次方程式が変位に使用されます。これは、回転には最大2つの自由度、変位には最大2つの自由度があるため、4つの未知の係数（3次方程式）しか得られないためです。これは、FEAが分布荷重を点荷重に分割する必要があることを意味します。これにより、3次方程式は元の4次式と同じたわみを持つことができます。これが、単一の要素が元の4次と同じミッドスパンのたわみを示さない原因です。

重ね合わせがなくても、剛性テンソルがひずみに関する応力の変化を考慮している限り、仮想作業の原理が適用されます。これは、剛性テンソルの代わりに使用するために、独立した未知の応力方程式をとることがあります。この種のバリエーションは、システムの数学モデルを作成する必要があるエンジニアによって多くの分野で使用されています。これらのエンジニアは、事実上すべての有限要素法の基礎を形成しています。要約すると、Castiglianoは大規模で複雑な構造のいくつかの重要なポイントで正確な解を迅速に提供しますが、仮想作業は、そうでなければ解決できない複雑なシステムに使用可能な近似モデルを提供します。