RMS電圧×RMS電流が平均電力を与えることの数学的証明

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信頼できる情報源で読んだので、私はこれが本当だと知っています。また、電力は抵抗性負荷の電圧または電流の2乗に比例し、RMSの "S"は "2乗"であることを直感的に理解しています。私は難しい数学的証明を求めています。

してみましょう瞬間に電流を表す、および同じくその瞬間に電圧を示します。すべての瞬間で電圧と電流を測定でき、瞬間が場合、平均皮相電力は次のようになります。 $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

エレガントな数学的証明は何ですか

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

抵抗性負荷でも同じ結果が得られますか？

power math rms

— フィル・フロスト
ソース

私が正しく覚えている場合は、RMSが対象の期間の信号の実際の値に最も近い近似であることを示す証拠があるはずです。これを使用して、おそらくことを証明できます。残念ながら、その証拠のある本を紛失したようです。:(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo 2014年

RMS電流とRMS電圧の積は平均電力に等しくありません。それは（平均）皮相電力に等しい。非抵抗負荷がある場合、これは違いを生む可能性があります。

— SomeoneSomewhereSupportsMonica 2016年

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オームの法則

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

瞬時電力損失は電圧と電流の積

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

電圧または電流の観点から、抵抗器を介して瞬時電力を得るには、1を2に置き換えます

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

平均電力は、定義上、ある期間の瞬時電力の積分をその期間で割ったものです。それに3を代入して、電圧と電流の観点から平均電力を取得します。

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

RMS電流の定義両側を正方形 Rを掛けて平均電力式4を見つけます RMS電圧定義両側を Rで除算して、平均電力式4を求めます平均電力の式7と10を乗算します両側の平方根

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— スティーブンコリングス
ソース

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非常に単純な証明（問題の離散サンプリングの場合）は、RMS方程式のIをE / Rで置き換えることです。

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

そして非常に単純な代数。

そして、はい、これは真実です。これは、純粋に抵抗性の負荷があるため、位相角の問題や、Eにも存在しないIに存在する高調波がないことが指定されているためです。

編集

離散点のRMSの定義（Wikipediaから）：

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

したがって、

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

および

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + \dots + I_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

そして、オームの法則によって置換：

I_{i} = V_{i} / R

$I_i = V_i/R$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

次に：

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

1 / R ^ 2を引き出す

I_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

そう：

V_{R M S} * I_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ は：

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

1 / Rの配布：

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

オームの法則の置換を再び使用する：

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

それは：

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— ジョージホワイト
ソース

代数が単純なら、見せてくれませんか？LaTeXマークアップを使用して、数学をタイプセットできます。

— Phil Frost

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励ましをありがとう。私は1983

— ジョージホワイト

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重要なのは、抵抗性負荷の場合、電圧と電流が同相であることです。

電圧と電流の両方が場合、それらの積はの等式で与えられます。パワーは周波数の2倍の正弦波で、約振動します。これは、時間の経過に伴う平均です（「正方形」の「平均」）。平均二乗の根はです。ここで、そのマジックナンバーを取得します。 $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

二乗平均平方根電圧または電流は、時間の経過とともに同じ電力損失を生成するDC等価電圧および電流です。平均電力損失が Wの場合、そのような電力損失は、 VDCに A DCを掛けることによって安定して生成できます。 $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

電流と電圧の位相を90度（純粋な反応性負荷）外の場合、我々はあるとして1を考えることができますおよび他のビーイング。該当する等式はです。電力波形は、約に振動するように「バイアス」されなくなりました。その平均はゼロです。電力波形が正と負にスイングするときに、電力は交互の半サイクルで負荷に流入および流出します。 $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

したがって、質問に答えるために、RMS電圧と電流は平均電力に基づいて定義されます。それぞれは平均電力の平方根から導出されます。 平均パワーの平方根から得られる2つの値を乗算すると、平均パワーが回復します。

— カズ
ソース

スティーブン・コリングの答えが一番だと思います。波形の詳細に依存せず、連続的なケースをカバーします。また、「二乗平均平方根電圧または電流は、時間の経過に伴って同じ電力損失を生成するDC等価電圧および電流です」と、答えを想定して円を描くことで答えが得られるようです。

— ジョージホワイト

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数学なしでこの問題をさらに単純化しましょう。周期が10秒の方形波を生成するこの単純な回路を見てみましょう。

ここに画像の説明を入力してください

電圧はこんな感じ

ここに画像の説明を入力してください

そして現在は

ここに画像の説明を入力してください

次に、電力波形は

ここに画像の説明を入力してください

スイッチが開いているときは、総エネルギーは10ワットX 5秒= 50ジュールであり、我々が適用されることは同じであるので、何の電力が抵抗に配信されていない5ワットを 10秒でここに画像の説明を入力してください

これが平均電力です。平均電圧は5ボルトで、平均電流は0.5アンペアです。単純な計算を行うと、平均電力は2.5ワットまたは25ジュールになりますが、これは正しくありません。

この順序でこのトリックを作ってみましょう：

最初に電圧（および電流）を二乗します
2番目に、正方形の平均を取ります
次に、平均の平方根をとります

電圧波形の二乗は

ここに画像の説明を入力してください

そして、平均は50V ^ 2です（50 ^ 2ボルトではありません）。この時点から、波形を忘れます。値のみ。上記の値の平方根は7,071…ボルトRMSです。同じことを電流に対して行うと、0,7071..A RMSが見つかり、平均電力は7,071V x 0,7071A = 5ワットになります。

同じことをRMSパワーで実行しようとすると、結果は平均で7,071ワットになります。

したがって、唯一の同等の加熱電力は平均電力であり、計算する唯一の方法は、電圧と電流のrms値を使用することです

— GR Tech
ソース

抵抗で消費される平均電力を瞬時電力の平均として計算できませんか？OPが要求した数学的証明はどこにありますか？

— ジョーハス2014年

もちろん、複雑な波形については、正確な平均値を得るために、ゼロに近い時間間隔を使用してそれらを統合する必要があります。私は数学をまったく使用しないので、平均の意味が非常にわかりやすい方形波を使用します。RMSも平均値です。

— GR Tech

実際の平均電力が5ワットであり、RMS V * RMS I = 5ワットであることを示しているように見えますが、この場合、OPが正しいことを示しています。また、この場合、平均V *平均I = 2.5ワットであることも示しています。

— ジョージホワイト

わかりました。再び言語の問題。私が言おうとしていたのは、Vavg x Iavgの計算が正しくないということです。落胆してくれてありがとう！

— GR Tech

「RMSも平均値である」場合、電源電圧のRMS値が平均値と同じように0.0Vにならないのはなぜですか。

— ジョーハス2014年