極とボード線図

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長い間私を悩ませてきた3つの質問があります。

ボード線図では、極に遭遇するたびにゲインが10 dBごとに20 dB低下するということです。しかし、極は伝達関数を無限にするの値として定義されていませんか？では、なぜこの時点でゲインが低下するのではなく上昇しないのでしょうか？ $s$
物理的に、システムに極周波数を入力するとどうなりますか？
また、伝達関数考えます。システムには極があります。つまり、極については、およびです。しかし、正弦波信号を入力に適用してボード線図を描くと、2 rad / secに極があると言うのはなぜですか（極については、および）。 $1/(s+2)$ $s=(-2+j0)$ $\sigma=-2$ $\omega=0$ $\omega=0$ $\sigma =-2$

transfer-function

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「極周波数」の意味を知っていますか？これは、原点から極位置までのベクトルの長さと同じ周波数です（ピタゴラスの規則）。実極の場合、極周波数は負の実部（-sigma）と同じです。したがって、極周波数で回路を励起することはできません。これは単なる人工的なツールですが、非常に便利なツールです。

— LvW

@LvW：その周波数は通常、固有周波数と呼ばれます。極周波数は、極の虚数部によって決まります。

— マットL.

マットL.申し訳ありませんが、私は同意しません。いくつかの参照を探します。

— LvW

マットL.、私は恐れています、ドイツと米国の間で用語に違いがあります。私は、あなたの国では「極周波数」と呼ばれるパラメータが「自然周波数」として知られていることに同意する必要があると思います。ごめんなさい。

— LvW

@Matt L.、私は完全に「軌道に乗っている」わけではないことをお伝えできてうれしいです。極の位置（原点からの距離）は、「極周波数」とも呼ばれます。知っておきたいことですが、このようなキーワードを使用するときは常に慎重にすべきです。

— LvW

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ボード線図は、グラフのプロットの伝達関数（すなわちないに対して）。は複素関数であり、その大きさのプロットは実際にはデカルト座標系の表面を表します。そして、この表面には、図に示すように各極で無限大に向かうピークがあります。 $H(s)$ $s$ $H(s)$

ここに画像の説明を入力してください

ボード線図は、最初の代入することによって得られるにおける、次いで極性形式でそれを表す。はマグニチュードボード線図を示し、は位相ボード線図を示します。 $s= j\omega$ $H(s)$ $H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$ $H(\omega)$ $\phi(\omega)$

（ボード振幅プロットは、伝達関数の大きさの漸近近似値である（ラジアン/秒での周波数の対数対）と）（dBで表される）y軸とX軸上。 $|H(\omega)|$ $\log_{10}|\omega|$ $|H(s)|$ $\log_{10}|\omega|$

質問に来る：

極では、複雑な表面無限にピーク。 $|H(s)|$ $|H(\omega)|$
システムに極周波数が供給されると、共スポンサー出力は同じ周波数になりますが、振幅と位相は変化します。値は、周波数をラジアン/秒単位で||に置き換えることで決定できますおよびそれぞれ。 $|H(\omega)|$ $\phi(\omega)$
-2 rad / secと2 rad / secの極は、に対して同じ効果を持ちます。そして、私たちの関心は周波数応答にあります。したがって、必要なのは肯定的な部分だけです。 $|H(\omega)|$

— ニディン
ソース

良い答えです。フォーマットを整えるのに時間がかかったことが大好きです！+1

— ヌル

フォローできません。まず、H(s)あなた自身が示すように、それ自体は表面を表していません。代わりに、各（複雑な）に複素数値があります。表示されるのは、おそらく絶対値（大きさ）|H(s)|か、実際の部分ですreal(H(s))。画像の下の最初の段落であなたが言うことに関しては：real(H(s))および/またはimag(H(s))無限に行く場合、大きさ|H(s)|、また無限に行きます。どうしてできないのでしょうか？

— クリストファー・クロイツィヒ

@ChristopherCreutzig表示されているグラフは3Dプロットです。x軸の「s」の実数部、y軸の「s」の虚数部、z軸のH（s）の大きさ。しかし、いくつかの混乱があることがわかります。編集させてください。

— -nidhin

その部分を得た。私の不満は、グラフがH（s）のものではないということです。なぜなら、この方法で複雑なパラメーターの複雑な関数をプロットすることは単に不可能だからです（4次元未満を使用する場合）。表示される表面はの表面で|H(s)|あり、の表面（プロット）と呼ばれるべきではありませんH。

— クリストファー・クロイツィヒ

@Christopher今私はあなたを得た。私は言葉をかなり混乱させて使っていました。今回、それが明確になったことを願っています。

— -nidhin

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伝達関数を理解しようとするとき、「ゴムシートの類推」が非常に役立つと思います。複雑な平面を覆う弾性ゴムシートを想像してください。伝達関数のゼロごとにシートが地面に固定され、すべての極に文字通り薄い極がゴムシートを押し上げていると想像してください。周波数応答の大きさに沿ってゴムシートの高さ γ軸。 $s$ $j\omega$

上記のアナロジーから、当然、ゲインは極に向かって上昇します。しかし、極から離れると、極の寄与により伝達関数が低下します（たとえば、次のゼロに向かって）。3番目の質問で例として挙げた単純なシステムを想像してください。これは、実数値の極た、及び-このポールに起因は、 -それはまた、ゼロ有する。そのため、周波数が増加するにつれて極から遠ざかると、伝達関数が低下します。これは、ゴムシートが無限大で地面に固定されるためです。数学的には、これも見やすいです： $s_{\infty}=-2$ $s_0=\infty$ デシベルでは
$H （ s ） = \frac{1}{s + 2} ⟹ {| H （ j ω ） |}^{2} = \frac{1}{ω^{2} + 4} = \frac{1}{4} \frac{1}{{（ \frac{ω}{2} ）}^{2} + 1}$ $H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$ について（1）の右辺第2項はによって近似することができる $\begin{matrix} （1） & 10 {ログ}_{10} {| H （ j ω ） |}^{2} = - 10 {ログ}_{10} （ 4 ） - 10 {ログ}_{10} [{（ \frac{ω}{2} ）}^{2} + 1] \end{matrix}$ $10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$ $\omega\gg 2$ これは、傾きが直線です $- 10 {ログ}_{10} {（ \frac{ω}{2} ）}^{2} = - 20 {ログ}_{10} （ ω / 2 ）$ $-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$ あたりの。 $-20\,\text{dB}$
極の1つに対応する信号でシステムを励起すると、この入力信号は他の周波数の入力信号と比較して「増幅」されます。ただし、安定したシステムの場合、出力信号は常に減衰することに注意してください。たとえば、伝達関数システムを励起する場合 $H(s)=\frac{1}{s+2}$ $x(t)=e^{-2t}$ $y(t)=te^{-2t}$ $t$ $0$ $t$
$2$ $2$ $-20$ $\omega\gg 2$ $2$

— マット・L
ソース

以前にその類推を聞いたことがありますが、それはコンセプトを理解する上で最高のものだと思います。そして、時間をかけて答えをうまくフォーマットしてくれてありがとう！+1

— ヌル

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ここに画像の説明を入力してください

$s$ $j\omega$ $\omega_p=1000$ $Q_p=1.3$

— LvW
ソース

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方程式の「s」は、関数exp（s * t）の定数です。したがって、sが実数の場合、この時間関数は指数関数的に増加または減少する関数です。s = -2の例は、指数関数的に下降する関数です。極の「番号」については、その「番号」に入力を適用すると出力が大きくなります。サンプル回路に指数関数的に立ち下がる信号を適用すると、出力信号は無限になります。（ただし、常に指数関数的に立ち下がる信号を生成することはできないことに注意してください。このような信号は過去に非常に大きいことがあるためです）。2ラジアン/秒のような周波数について話すとき、2ではなくj * 2の極について話しているので、これらの信号は正弦波です。正弦波の信号を生成することは可能です（少なくともかなり長い間）。

— user69795
ソース

— ペドロ・クアドロス