すべての連合のパレート効率的な結果の共通部分としてコアを書く

私は一般的な平衡モデルをレビューしており、協調ゲームのコアを計算するための効率的な方法を見つけようとしていました。私は非常に貧弱な方法でこのトピックを教えられたので、まだいくつかの概念的な誤りがあると思います。

ここに私が持っていた考えがあります：

我々三人の消費者と経済にあると仮定し、B、及びCユーティリティで、U I（X ）バンドル上で定義されるX ∈ R 2及び基金のω Iため、I = A 、B 、C。この経済の中核を計算したい。$A$$B$$C$$u_{i}(x)$$x \in \mathbb{R}^{2}$$\omega_{i}$$i = A, B ,C$

コアは次の条件を満たす必要があることを知っています： すなわちコアを個別に合理的でなければなりません。そうしましょうD={X∈R2：Xは ごとに個別に合理的である A、 B 及び Cは}Iはまた、コアがパレート効率的な成果の一部であることを知っているのでせEは={X∈R2：Xは、 パレート効率的です

$$\begin{align} u_{A}(x_{A}) &\geq u_{A}(\omega_{A})\\ u_{B}(x_{B}) &\geq u_{B}(\omega_{B})\\ u_{C}(x_{C}) &\geq u_{C}(\omega_{C})\\ \end{align}$$ $$D =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is individually rational for $A$, $B$ and $C$} \}$$ $$E =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient} \}$$ さて、ここに私が確信していない部分があります：私は、コアがどんな二人の連合によってもブロックされないことを知っています。これは、コアの割り当てが2人のゲームでパレート効率的であることを意味すると思います。したがって、私は定義： $$\begin{align} F_{1} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $A$ and $B$ } \}\\ F_{2} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $A$ and $C$ } \}\\ F_{3} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $B$ and $C$ } \} \end{align}$$

私の質問は次のとおりです。

1. 上記の分析は正しいですか？
2. $\mathcal{C}$ $$\mathcal{C} = D \cap E \cap F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3}\text{?}$$
3. $n$$m$

不明な点がある場合はお知らせください！

1. $F_i$$A$$B$$x$$A$$B$$x$

---

編集：（例）

$$\omega_{A} = (1,1), \omega_{B} = (1,1), \omega_{C} = (2,2)$$ $x$ $$x_A = (2,2), x_B = (2,2), x_C = (0,0).$$ $A$$B$$x$$x$ $$x_A + x_B \neq \omega_{A} + \omega_{B}$$

---

$F_i$

$A$$B$$Y_{A,B} \subset \mathbb{R}^{2}$

$$F_{1} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : \nexists y \in Y_{A,B} \text{ such that } u_{A}(y_{A}) \geq u_{A}(x_{A}), u_{B}(y_{B}) > u_{B}(x_{B}) \}$$ $A$$B$

$F_{2}$$F_{3}$

$E$

2. はい。何故なの？これがまさにコアです。

3. $n$$m$