前の研究者は、単に統計上の誤りのためにホットハンドを検出できませんでしたか？

多くのバスケットボールファン/プレーヤーは、連続していくつかのショットを行った場合、次のショットが入る可能性が高いと考えています。これはホットハンドと呼ばれることもあります。

Gilovich、Mallone、Tversky（1985）から（私が思うに）、これは実際には誤fallであることが「示された」。連続して複数のショットが入ったとしても、次のショットは、平均的な撮影の割合が指示するよりも入る可能性は高くありません。

Miller and Sanjurjo（2015）は、ホットハンドは実際に存在し、以前の研究者はかなり基本的な統計的誤acyの餌食になったと主張しています。彼らの議論は次のようなものです。

コインを4回裏返します。HがHに続く確率を計算します。いくつかの例を挙げると、HHTTは確率1 /2、HTHTは確率0/2、TTHHは確率0/1 1 / 1、TTTTとTTTHはともにNAです。

MillerとSanjurjoのパンチラインは、この確率の期待値が0.5ではなく、0.4であることです。そして、以前の研究者が犯したエラーは、この確率の期待値が0.5であると誤って仮定することでした。たとえば、これらの以前の研究者が上記のコインフリッピング実験を実施し、平均確率が0.497であるとわかった場合、実際にはホットハンド（0.5と有意な差はない）の証拠はないと結論付けました。ホットハンドの強力な証拠（0.4とは大きく異なる）。

私の質問はこれです。ミラーとサンジュルホは、以前の研究者がこのミスのためにホットハンドを検出できなかったのは正しいのですか？私はこれについて1、2枚の論文を読み飛ばしただけなので、この文献をよりよく知っているだろう誰かから確認を求めていました。これは、30年以上続いた驚くほど愚かなエラーのようです。

（この回答は、2017年7月に明確さと読みやすさのために完全に書き直されました。）

コインを100回連続でひっくり返します。

$\hat{p}(H|3T)$$\hat{p}(H|3H)$

$x:=\hat{p}(H|3H)-\hat{p}(H|3T)$

コインフリップがiidの場合、「明らかに」100のコインフリップの多くのシーケンスにわたって、

（1）は、x < 0と同じ頻度で発生することが予想されます。$x>0$$x<0$

（2）。$E(X)=0$

100個のコインフリップの100万シーケンスを生成し、次の2つの結果を取得します。

（I）は、x < 0とほぼ同じ頻度で発生します。$x>0$$x<0$

（II）（ˉ Xの平均X百万の配列にわたります）。$\bar{x} \approx 0$$\bar{x}$$x$

したがって、コインフリップは確かにiidであり、ホットハンドの形跡はないと結論付けます。これはGVT（1985）が行ったことです（ただし、コインフリップの代わりにバスケットボールショットを使用）。そして、これが彼らがホットハンドが存在しないと結論づけた方法です。

パンチライン：驚いたことに、（1）と（2）は間違っています。コインフリップがiidの場合、代わりに

（1修正）は約37％の時間のみ発生しますが、x < 0は約60％の時間発生します。（残りの3％の時間では、x = 0またはxは未定義です。100回のフリップで3Hのストリークまたは3Tのストリークがなかったためです。）$x>0$$x<0$$x=0$$x$

$E(X) \approx -0.08$

関係する直観（または反直観）は、他のいくつかの有名な確率パズルのそれに類似しています：モンティホール問題、2人の少年の問題、および（カードゲームブリッジの）制限された選択の原則。この答えはすでに十分に長いので、この直感の説明はスキップします。

そして、GVT（1985）によって得られた（I）と（II）の結果は、実際にはホットハンドを支持する強力な証拠です。これは、Miller and Sanjurjo（2015）が示したものです。

GVTの表4。

GVT（1985）を読むことを気にせずに、多くの人（例：@scerwin）は、この文脈で「訓練された統計学者」が平均をとるという不信を表明しました。

しかし、それはまさにGVT（1985）が彼らの表4でしたことです。彼らの表4、列2-4と5-6の下の行を見てください。彼らは26人のプレイヤーの平均であることがわかり、

$\hat{p}(H|1M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|1H) \approx 0.48$

$\hat{p}(H|2M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|2H) \approx 0.49$

$\hat{p}(H|3M) \approx 0.45$$\hat{p}(H|3H) \approx 0.49$

$k=1,2,3$$\hat{p}(H|kH)>\hat{p}(H|kM)$

しかし、平均の平均（一部の人が信じられないほど愚かであると見なされる動き）をとるのではなく、分析をやり直して26人のプレーヤー（各100ショット、一部の例外を含む）で集計すると、次の加重平均の表が得られます。

Any                     1175/2515 = 0.4672

3 misses in a row       161/400 = 0.4025
3 hits in a row         179/313 = 0.5719

2 misses in a row       315/719 = 0.4381
2 hits in a row         316/581 = 0.5439        

1 miss in a row         592/1317 = 0.4495
1 hit in a row          581/1150 = 0.5052

たとえば、この表では、26人のプレーヤーが合計2,515ショットを撮影し、そのうち1,175または46.72％が撮影されたとしています。

そして、プレイヤーが3つ続けてミスした400のインスタンスのうち、161または40.25％がすぐにヒットしました。また、プレイヤーが3回連続でヒットした313のインスタンスのうち、179または57.19％の直後にヒットしました。

上記の加重平均は、ホットハンドを支持する強力な証拠のようです。

射撃実験は、各プレイヤーが自分のショットの約50％を作成できると判断された場所から射撃するように設定されていることに留意してください。

（注：表1では、Sixersのゲーム内射撃と非常によく似た分析を行うために「奇妙に」十分に、GVTは代わりに加重平均を提示します。確かに、表4の加重平均を計算しました—私が上に示した数値は、彼らが見たものが気に入らず、それらを抑制することを選択しました。

$HHHTTTHHHHH…H$$\hat{p}(H|3T)=1/1=1$

$\hat{p}(H|3H)=91/92 \approx 0.989$

PS GVT（1985）の表4には、いくつかのエラーが含まれています。少なくとも2つの丸め誤差を発見しました。また、プレーヤー10の場合、列4と列6の括弧内の値は、列5の括弧内の値の合計に1足りません（下の注記とは異なります）。私はジロビッチに連絡しました（トヴェルスキーは死んでおり、バローンはわかりません）。残念ながら、彼には元のヒットとミスのシーケンスがありません。表4はすべてです。

（免責事項：私はこの文献を知りません。）MillerとSanjurjoには特定の統計的尺度に対する有効な批判があるように思えます。ホットハンド効果に関する以前のすべての作業を無効にするためにこれを考慮する必要があるかどうかはわかりません。なぜなら、彼らはこの特定の手段のみに焦点を当てているからです。

メジャーは

$M$$\mathbb{E} M > 0$$\mathbb{E} M = 0$

$\mathbb{E} M < 0$$M$

$M$

2つの論文のどちらも、統計の適用に関して十分に明確ではないため、この回答では説明を試みます。

Gilovich、Mallone、およびTversky（1985）は、アブストラクトで「ホットハンド効果」を次のように定義しています。

「バスケットボール選手もファンも、プレーヤーがショットを打つチャンスは、前のショットのミスを追うよりもヒットした後のほうが大きいと信じがちです。」

$k$$H_k$$k$$M_k$

コンパクト化のために、問題のショットは連続したヒットまたはミスの直後のショットであることが理解されます。これらは、理論的な条件付き確率（つまり定数）であり、条件付きの相対的な経験的頻度ではありません。

$\hat P(H \mid H_k) ,\; \hat P(H\mid M_k)$

$P(H)$

$T\equiv \hat P(H \mid H_k) - \hat P(H\mid M_k)$

$T$

$T$

したがって、ジロビッチらに問題がある場合。論文、それはホットハンドの定義ではなく、帰無仮説の定式化でも、使用する統計量の選択でもありません。テストを実行するために使用される重要な値の有効性です（暗黙の分布仮定の場合）、実際に有限の小標本分布（帰無仮説の下）が視覚的にゼロで非中心であり、非対称である場合。

このような場合、通常、テストを実行するために特別な臨界値をシミュレーションで取得します（たとえば、ユニットルートのDickey-Fullerテストの特別な臨界値を思い出してください）。Miller-Sanjurjoの論文ではそのようなアプローチを見ることはできませんでした。代わりに、彼らは「平均バイアス調整」を実行し、この調整の後、テストの結論が逆転することを発見しました。これが進むべき道かどうかはわかりません。

$200$$n=100$$p=0.5$
$T_3 = \hat P(H \mid H_3) - \hat P(H\mid M_3)$$-0.0807$$-0.072$$62.5\%$負の値の。経験的ヒストグラムは

私の見解では、MillerとSanjurjoは単に表1の相対周波数を誤って計算しました。4つのコインフリップの各シーケンス内で発生するサブシーケンスHHおよびHTの数をカウントする2つの新しい列が追加されたテーブルを以下に示します。目的の条件付き確率p（H | H）を取得するには、これらのカウントN（HH）とN（HT）を合計し、次に示すように分割する必要があります。これを行うと、予想どおりp（H | H）= 0.5になります。何らかの理由で、MillerとSanjurjoは最初に各シーケンスの相対頻度を計算し、次にシーケンス全体で平均しました。それは間違っています。

Sequence     Subsequences       N(HH) N(HT)    p(H|H)
TTTT  ->  TT.. , .TT. , ..TT      0     0        -  
TTTH  ->  TT.. , .TT. , ..TH      0     0        -  
TTHT  ->  TT.. , .TH. , ..HT      0     1       0.0 
THTT  ->  TH.. , .HT. , ..TT      0     1       0.0 
HTTT  ->  HT.. , .TT. , ..TT      0     1       0.0 
TTHH  ->  TT.. , .TH. , ..HH      1     0       1.0 
THTH  ->  TH.. , .HT. , ..TH      0     1       0.0 
THHT  ->  TH.. , .HH. , ..HT      1     1       0.5 
HTTH  ->  HT.. , .TT. , ..TH      0     1       0.0 
HTHT  ->  HT.. , .TH. , ..HT      0     2       0.0 
HHTT  ->  HH.. , .HT. , ..TT      1     1       0.5 
THHH  ->  TH.. , .HH. , ..HH      2     0       1.0 
HTHH  ->  HT.. , .TH. , ..HH      1     1       0.5 
HHTH  ->  HH.. , .HT. , ..TH      1     1       0.5 
HHHT  ->  HH.. , .HH. , ..HT      2     1       0.66
HHHH  ->  HH.. , .HH. , ..HH      3     0       1.0 
                                 --    --       ----
                                 12    12       0.40
                            p(H|H)=N(HH)/N(H*)
                                  =12/(12+12)
                                  =0.5

観察されたシーケンスでは、最後の条件は、後で値がないという意味で「欠落」です。著者は、これが発生した場合を単に無視し、未定義だと言ってこれに対処しています。シリーズが短い場合、この選択は計算に明らかな影響を与えます。図1は、このアイデアの良い例です。

上記のコメントを回答に変更し、元の質問に対する回答は、元の論文が正しいということです。2015年の論文の著者は、コメントで説明しているように、分析に論理的に含める必要があるシーケンスを捨てているため、主張を裏付けるバイアスを導入しています。世界はあるべき姿で働いています。

コメントに対する補遺：論文の表1を見てください。最後の列から4つの値を捨てていることがわかります。そのため、期待される差を得るには、16シーケンスのうち12シーケンスのみを平均します。これらの確率を周波数として見て、最初の行TTTTについて、頭が頭に続く周波数は何であるかを言うと、論理的に常に発生するため、p（H、H ）列ではなく、ダッシュ。破棄した他の3つのシーケンスに対してこれを行い、差の期待値は-.33ではなく0であると結論付けます。データの明確な論理的解釈がある場合、そのようなデータを単に捨てることはできません。

ドリフトを消滅させるには、確率を正しく計算する必要がありますが、これは論文では行われていません。表の確率は、「この与えられた4回のトスのシーケンスで、頭が尻尾をたどる確率」であると主張されています。行TTTHの場合、確率は1/3であると信じられていることがわかります。そうではありません。行には4つのトスがあり、その行の4つのトスの1つは、「頭が尾に続く」というイベントです。確率は1/4です。したがって、確率を正しく計算し、すべての行を使用すると、30年間受け入れられた答えが得られます。