動的最適化：2次条件が成立しない場合はどうなりますか？

次の動的最適化問題を考えます

\begin{aligned} \underset{あなた}{最高} \int_{0}^{T} F （ バツ 、 あなた ） d t \\ st & \dot{バツ} = f （ バツ 、 あなた ） \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOC

ハミルトニアンはによって与えられ

\begin{aligned} H （ バツ 、 あなた 、 λ ） = F （ バツ 、 あなた ） + λ f （ バツ 、 あなた ） \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ 最適化に必要な条件は最大値によって与えられます原則

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial あなた} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial バツ} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

仮定 $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ マキシマイザー、すなわち $H_{uu} < 0$ 。

SOC

Arrow Sufficient Theoremは、最大化されたハミルトニアン

\begin{aligned} H^{0} （ バツ 、 λ ） = \underset{あなた}{最高} H （ バツ 、 あなた 、 λ ） \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ が凹である場合に必要な条件は十分であると述べてい

x

$x$ 、つまり

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ 。

問題

FOCは保持されているが、SOCは保持に失敗したとします。

ソリューションの最適性について何が言えますか？

optimization

— 無知な
ソース

凸面は凹面の欠如ではありません。

— Michael Greinecker

間違った部分を削除しました。よろしくお願いします。答えは次のとおりです。多くはない、他のことを試してください（たとえば、別の十分条件、または凸型であると思われる場合は凸型であることを示します）。

— 全能のボブ

単一の答えはありません、それはそれぞれの問題の詳細に依存します。標準的な例を見てみましょう。

ラムジーモデルのベンチマークの異時点間最適化問題を検討する

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

現在のハミルトニアン値は

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

私たちが持っているだけで最大化 $c$

\frac{\partial \overset{〜}{H}}{\partial c} = {あなた}^{』} （ c ） - λ = 0 ⟹ {あなた}^{』} （ c^{*} ） = λ ⟹ c^{*} = （ {あなた}^{』} ）^{- 1} （ λ ）

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

効用関数が凹型の場合、2次条件が成立します。

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

さらに、消費に関する1次条件から、局所的な飽満が成立する場合、ます。そのような「通常の」設定があると仮定します。 $\lambda >0$

ハミルトニアンの最大消費量は

{\overset{〜}{H}}^{0} = あなた [（ {あなた}^{』} ）^{- 1} （ λ ）] + λ [f （ k ） - （ {あなた}^{』} ）^{- 1} （ λ ） - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

状態変数に関する偏微分は $k$

\frac{\partial {\overset{〜}{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{』} （ k ） - δ] 、 \frac{\partial^{2} {\overset{〜}{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} （ k ）

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

したがって、ここではArrow-Kurz充足条件は、資本の限界積が減少するか、一定であるか、または増加するか（つまり、生産関数の2次導関数の符号に依存する）に要約されます。標準の場合、あり、十分な条件があります。 $f''(k) < 0$

最も有名な偏差のケースでは、内生的成長の文献を開始したRomerのモデルであり、資本の限界積は正の定数です。 $AK$ $f''(k) =0$

それでは、この場合は何と言えますか？

ここでは、 Seierstad、A.とSydsaeter、K.（1977）です。最適制御理論における十分条件。国際経済レビュー、367-391。私たちを助けることができる様々な結果を提供します。

特に、ハミルトニアンがとで共に凹形である場合、最大値に対して十分な条件であることを証明します。ハミルトニアンのヘッセ行列は $c$ $k$

（割引期間は無視できます）

{H e}_{H} = [\begin{matrix} {あなた}^{″} （ c ） & 0 \\ 0 & λ f^{″} （ k ） \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

の標準ケースではこれは負定行列なので、ハミルトニアンはとで一緒に厳密に凹になります。 $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

場合行列が負半正定値であることをチェックするには、定義を使用して簡単です。ベクトルとその積を考える $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} {あなた}^{″} （ c ） \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

この弱い不等式はを保持するため、ヘッセ行列はとで共に凹になります。 $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

したがって、内生的成長のモデルでは、解は実際に最大になります（もちろん、問題を明確に定義するために必要なパラメーター制約が条件となります）。 $AK$

— アレコスパパドプロス
ソース

ありがとう。ただ、動機を明確にすべきだと思います。ハミルトニアンが厳密な凹面でも、共同凹面でもないことを知っています。ここで、は有界なので、はハミルトニアンの形状を駆動します。これは、小さいと任意のの厳密な凸関数であり、大きいと任意の厳密な凹関数です。私はそのような場合の最適性について一般的な声明を出せるかどうか疑問に思っていました。

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— 2015年

@cluelessこれは別の（そして興味深い）質問なので、別の投稿で質問することをお勧めします。

— Alecos Papadopoulos 2015