需要推定におけるOLSバイアス：バイアスは常に需要の弾力性を過小評価していますか？

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一部の論文では、測定器の品質に応じて、OLSはIV推定よりもバイアスが少ないと主張しています。需要推定式を考えてみましょう。

OLSで需要弾力性が負であるとします。私の直感では、弱い商品はOLSに対して偏った見積もりを生成するはずですが、それよりも否定的ではありません。例を出せますか？それがIV推定でより偏った推定にどのようにつながるのか本当に理解できません。

econometrics

— ジョン・ドウ
ソース

IVは偏っていますが、一貫しているため、あなたの発言は正しいと思います。しかし、それはすべてあなたの目的に依存すると思います。予測対推論。

— user157623

最初の文で言及する「いくつかの論文」（よく知られているもの、またはリットレビュータイプ）はどれですか。それらを見てみたいです。ありがとう。

— Kim Jong Un

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通常、。分母はゼロになります。 $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

これは、測定器と誤差項の間に何らかの相関関係がない限り当てはまります。また、指名子は、測定器と内生変数との関係の強さです。分母が小さくなるほど、バイアスが大きくなります。 $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

さらに、弱い計器には精度がないため、分散には大きな上方バイアスがあります。

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

そのため、機器が弱い場合は、OLS回帰を実行した方がよい場合があります。

— ノックス
ソース

IV推定量の最初の分散の方程式では、バイアスのないベータ1の分散が欠落していると思います-正しいですか？IV推定量のバイアスに関連する部分にのみ分散を割り当てます。私が間違っている場合、何が欠けているのか説明してください。

— John Doe

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

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$\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$ が小さい場合、バイアスは大きくなる可能性があります。444ページの式（7）に続くBound、Jaeger and Baker's（1995、JASA）の注釈を参照してください。

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

$x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

機器の内生性がなければ、IV推定量のバイアス（限界分布については、確率限界がない可能性があります）がOLSの不整合よりも大きいとは思いません。

$n$ 可能性があるため、データセットのIV推定値がたまたまOLSよりも意味がない場合があるということです。

— chan1142
ソース