私たちは異なる年齢$ a $の人々の集団を持っています、時間は$ t $でインデックスされています。人が死ぬ割合は$ d（a、t）$です。簡単にするために、出生を無視してください。時間の経過に伴う年齢分布の進化を計算したいと思います。

$ a $以下の人の質量を$ F（a、t）$で表します

$$ F（a、t）= \ int_0 ^ {a} m（\ tilde a、t）d \ tilde a $$

最終的に、私はいくつかのコルモゴロフ前進方程式の後にいます つまり、

$$ \ partial_t F（a、t）$$

私のアプローチ $ f（a、t）$が年齢$ a $で、時点$ t $の人々の密度を示すものとします。離散時間近似から始めて、$ \ Delta $をゼロにします。離散的な各時点で、

$$ f（a + \ Delta、t + \ Delta）=（1-P（a、t））f（a、t）$$

ここで、$ P（a、t）$は、$ d（a、t）$の離散時間アナログです。 $ \ Delta \を0 $にするつもりなので、$ 1-P $を$ 1- \ Delta d）$と近似できます。

$$ f（a + \ Delta、t + \ Delta）=（1 - \ Delta d（a、t））f（a、t）\\ \ frac {f（a + \ Delta、t + \ Delta）-f（a、t）} {\ Delta} = -d（a、t））f（a、t）\\ （\ partial_t + \ partial_a）f（a、t）= \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {f（a + \ Delta、t + \ Delta）-f（a、t）} {\ Delta} = - d（a、t））f（a、t）\\ $$

私は両方の側を統合することができます。と

$$ \ partial_t F（t、a）= - f（t、a） - \ int q（t、a）f（t、a）da \\ \ partial_t F（t、a）= - \ partial_a F（t、a） - \ int q（t、a）\ partial_a F（t、a）da $$

私は$ \ partial_a q（t、a）= q（t、a）（1-q（t、a））$であることを知っています。しかし、それは積分を解くのに本当に役立ちません。この問題を解決するための他の角度はありますか？それとも私は何かが恋しいですか？

これが私の一番の推測です。これが正しいかどうか、私は徹底的にチェックしていませんが、多分それは助けになるでしょう。

人口密度の進化

私は以下のようにモデルを理解しています。 $ f（a、t）$ $ t $時の年齢$ a $の人々の密度です。時間$ t = 0 $において、母集団の密度が$ f_0（a）$であるとします。老化プロセスと死亡率をモデル化するには、密度$ f $が時間の経過とともに変化して、導出した条件を満たす必要があります。したがって、$ m $は次の偏微分方程式を満たす必要があります。 $$ \ frac {\ partial f} {\ partial t} + \ frac {\ partial f} {\ partial a} + d（a、t）f（a、t）= 0 $$ そして初期条件 $$ ｆ（ａ、０）＝ ｆ ０（ａ）である。 $$ この形式のPDEは、$ d $に選択された関数形式によっては比較的簡単な解決策を持つことができると思います。ここにいくつかのケースがあります。

ケース1：定死亡率、$ d（a、t）= d_0 $。

一定の死亡率、$ d（a、t）= d_0 $とします。それから（Mathematicaを使って）

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d0 f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

になります

{{f[a, t] -> E^(-a d0 + d0 (a - t)) f0[a - t]}}

だから、私たちが見ることができるように、これは簡単な解決策を与える $$ f（a、t）= \ exp \ { - a d_0 + d_0（a-t）\} \ cdot f_0（a-t） $$ ケース2：対数死亡率、$ d（a、t）= \ log（a + 1）$。

ここにあります

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + Log[a+1] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

これは

{{f[a, t] -> (1 + a)^(-1 - a) E^t (1 + a - t)^(1 + a - t) f0[a - t]}}

これも簡単な解決策を与える $$ f（a、t）=（1 + a）^ { - a-1} e ^ t（1 + a-t）^ {1 + a-t} \ cdot f_0（a-t） $$

ケース3：一般的なケース

まだ$ d（a、t）$を指定していない場合は、

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d[a, t] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

わかりやすくするために（TeXFormでは）

$$ \ begin {align *} \ left \ {\ left \ {f（a、t）\から\\    \ text {f0}（a-t）\ cdot \\    \ exp \ left（\ int_1 ^ a    -d（K [1]、K [1] -a + t）\、dK [1] - \ int_1 ^ {a-t} -d（K [1]、K [1] -a + t）\、    dK [1] \ right）\ right \} \ right \} \ end {align *} $$