なぜですか？

2つの商品とと、それらに関連する価格とます。収入。はヒックスの需要で、はマーシャルの需要です。$x$$y$$p_x$$p_y$$m$$x^H$$x^M$

スルツキー方程式：

$$\frac{\partial x^M}{\partial p_x} = \frac{\partial x^H}{\partial p_x} -\frac{\partial x^M}{\partial m} x^M$$

弾力性バージョン：

$$\varepsilon_{x,p_x}^M = \varepsilon_{x,p_x}^H - \eta_x s_x$$

$$s_x = \frac{p_x x}{m}$$

私の教授はしていますが、尋ねられても証明をしませんでした。私のTAが提供することもできません。

$$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$$

$\sigma$は置換の弾性です

私の質問：

誰かが理由を示すことができますか？$\varepsilon_{x,p_x}^H =-s_y \sigma$

まず、置換弾力性を定義する必要があります。これは、難しく複雑な概念になる可能性があります。（心を吹き飛ばしたい場合は、この調査のSternによる表2を見てください。これは、代替の弾力性の10以上の概念を分類しています！）。$\sigma$

そうは言っても、教授が言及している公式は2つの商品がある場合にのみ真実であるため、私たちは2つの良いケースに自分自身を制限していると仮定するつもりです-そして、そこで、置換の弾力性を定義することは（ほとんどの場合部分）明確です。まず、と限界効用の比とそれらの量の比の（マイナス）逆弾性として定義し、効用の全体的なレベルを一定に保ちます： これは、と間の無差別曲線：より高い（つまり、より置換可能な$x$$y$$u$

$$\sigma\equiv - \left.\left(\frac{\partial \log(U_x/U_y)}{\log(x/y)}\right)^{-1}\,\right|_{U=u}$$ $x$$y$$\sigma$$x$とは）、無関心曲線が直線に近いほどです。$y$

現在、ヒックスの需要は、無関心曲線上にあることを条件に支出を最小限に抑えています。これには、限界ユーティリティの比率を価格の比率に等しく設定することが含まれます： したがって、を（マイナス）として再解釈できます相対価格に関するヒックスの相対需要の弾力性： 分母が唯一の相対価格があるので、それは私たちが上げることによって、たとえば（この相対価格をどのように変化するかに依存しない低下対）。単にを上げていると仮定して、使用します

$$U_x(x^H,y^H)/U_y(x^H,y^H)=p_x/p_y$$ $\sigma$ $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x/p_y)}\tag{1}$$ $p_x/p_y$$p_x$$p_y$$p_x$$\varepsilon$単純化のための弾性の表記： この時点で、ヒックスの需要に対する単純なアイデンティティ、つまり、価格に応じた商品の弾力性の合計が、株式は、（証明は以下を含む）ゼロである： ため、我々は書き換えることができる（3 ）as ただし、（4）の括弧内の用語は、置換弾性にすぎません $$\sigma=-\frac{\partial \log(x^H(p,u)/y^H(p,u))}{\log(p_x)}=\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x}\tag{2}$$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$ $s_x=1-s_y$ $$(1-s_y)\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=s_y\cdot(\varepsilon^H_{y,p_x}-\varepsilon^H_{x,p_x})+\varepsilon^H_{x,p_x}=0\tag{4}$$ $\sigma$、（2）で示したように。再配置すると、教授のステートメント が必要に応じて証明されました 。 $$\varepsilon^H_{x,p_x}=-s_y\sigma$$

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（3）の証明。収入を一定に保ち、価格が変化してもマーシャルの支出は一定でなければならないことを知っています。上の支出の弾性に対してある（価格及び数量の変更を組み合わせること）、そしてへの支出の弾性に対してさ。初期シェアによって重み付けされ、これらは合計して0になります 弾性Slutsky方程式を代入すると、 、我々は事実を使用すると、$x$$p_x$$1+\varepsilon^M_{x,p_x}$$y$$p_x$$\varepsilon^M_{y,p_x}$

$$s_x(1+\varepsilon^M_{x,p_x})+s_y\varepsilon^M_{y,p_x}=0$$ $$s_x + s_x(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_xs_x)+s_y(\varepsilon^H_{x,p_x}-\eta_ys_x)=0$$ $\eta_xs_x+\eta_ys_y=1$（収入が拡大し、総支出が比例して拡大する）、正面でキャンセルするがあり、ちょうど（3）に減少します： 必要に応じて。これはヒックスの需要を支配する非常に重要なアイデンティティです。価格を変更しても、最初の注文で古い価格でのヒックスの需要のコストは一定のままです（これは「補償」需要であることに関連します。古い価格で同じ）。$-s_x$$s_x$ $$s_x\varepsilon^H_{x,p_x}+s_y\varepsilon^H_{y,p_x}=0\tag{3}$$