数学の使用と用語の不正確な定義

経済学の大学院生として、数学の「ツールセット」を拡張しようとしてきました。その間、エンジニア、物理学者、数学者と話をしましたが、その多くは経済学における数学の使用を軽んじています。彼らの議論はさまざまですが、数学者のマイケル・エデセスの批評によって1つの共通のテーマが要約されています：

経済学は数学のふりをしますが、数学ではありません。大きな違いがあります。数学者は、その用語が最初に耐え難い精度で定義されていない限り、式の用語や定理の記述を使用しません。

そして、エコノミストは「総需要」や「経済成長」などの用語を定義したと考えるかもしれませんが、正確な定義が本当に何であるかを確認するには、実際の数学を読んでみてください。エコノミストは、式での用語の使用方法から推測される定義の仕事を残していると思います。

私は（かなり少数の）経済用語の正確な定義を知っていると思いますが、おそらくEdesessは、私がよく知らないかもしれないより深い数学的基礎を指摘しています。誰かが彼の議論を拡大し、おそらく反論することさえできますか？

Edesessは、まさに単なる経済学のストローマンであるものを攻撃しています。彼がこの分野を本当に理解しているかどうかはわかりません。まず、経済学は数学ではありません。私たちはそうだと主張しているのではありません。それは「応用された」科学です。経済学者は、これらの定義が数学のように正確であると主張したことはありません。これらの定義はモデリング構成体です---それらは応用作業用です。ある意味、一時的な使用です。重要なのは、言葉だけでなく、より正確な方法でアイデアを伝えようとすることです。しかし、誰もが自分たちが望むほど正確ではなく、最終的に必要なほど正確ではないことを知っています。それらは議論され、後で洗練されることを意図しています。しかし、すべての応用科学者が知っているように、あなたはどこかから始めなければなりません、そして時々、アイデアはより単純なもので伝えられるのが最善です-それほど詳細ではない場合。

より良い定義を見つけることは、経済学の大きな部分です。これらの例を検討してください。Cowles Foundationが1932年に設立されたとき、そのモットーは「理論と測定」でした（このモットーは1952年に最初に採用されました）。測定は簡単なことではありません。別の例として、多くのラリー・コトリコフの研究は、多くの財政措置が経済的に明確に定義された概念ではないことを扱ってきました。

アインシュタインは、時間も距離も明確な物理的概念ではないことを教えてくれました。代わりに、それらの測定値は、私たちの基準の枠組み、つまり私たちが宇宙をどれだけ速く、どの方向に移動しているかに関連しています。参照の物理的なフレームは、言語またはラベル付け規則と見なすことができます。...コトリコフは、ハーバード大学のジェリー・グリーンとともに、財政赤字およびその他の多くの従来の財政措置は、経済的に言えば、コンテンツフリーであるという提案の一般的な証拠を提供しました。合理的なエージェントを含む経済モデル。

また、現在の関心の別の例を取り上げます。ラース・ハンセンの最近の作品（2013年の経済学「ノーベル賞」の受賞者）は、「バブル」やシステミックリスクを含む特定の経済概念を定義することの困難さと継続的な失敗に焦点を当てています。彼のエッセイ「全身リスクの特定と測定における課題」を参照してください。私は彼がリレーする口論のファンです。

私がよく言うのは、あなたが話していることを測定し、それを数字で表せば、それについて何かを知っているということです。しかし、それを測定できないとき、数字で表現できないとき、あなたの知識は貧弱で不十分な種類のものです。問題かもしれません。

彼は、「シカゴ大学の社会科学研究棟に短縮版が掲載されている」と指摘しています。それで、ええ、エコノミストは（社会科学者として）間違いなくこれを真剣に受け止めています。

したがって、ポイントは、経済学者がこれらの「定義」の問題をよく認識しているということです。それらは、この分野で進行中の研究の一部です。人々が問題の1次であると思わない場合、無視されることがあります。等...

経済学は数学のふりをしますが、数学ではありません。

あなたが私の言葉を許せば、神は禁じます。他の多くの科学分野と同様に、経済学は数学を使用しますが、それは間違いなく数学ではなく、数学になることはできません。

数学は現実の世界からインスピレーションを得るかもしれませんが、それがインスピレーションのソースに接続されたままであるかどうかに関係なく、その概念を定義して動作します。
一方、経済学では、研究しようとする現実の側面とある程度の関連性を保持する方法で、その概念を定義する必要があります。そして、経済学を支配する「現実世界」は、誰もまだ発見していない不確実性と法律に満ちた社会的世界であるため、経済学は決して「耐え難いほどの正確さ」を達成できず、関連性を保つことができます。だから何？経済学は数学ではない、私たちはすでにそれを言った。経済は難しい数学よりも、正確にそれ自体にそのような精度を課すことができず、有用であり続けるからです。しかし、科学的な方法を順守しているため、口頭での議論に限定される代わりに、それらを「数学化」しようとします（つまり、記号言語を使用）。 。

口頭での論文を作成するのは非常に簡単であり、最初にセマンティクス分析のラウンドが必要になり、次にこのラウンドが最終的にどこかで終了した場合、議論自体を議論します。しかし、一旦それを象徴的な言葉で表現すれば、霧を取り除き、私たちの敷地（そして私たちの限界と不完全さ）を、見たいと思う人のために輝かせます。それが私が社会科学における科学的完全性と呼ぶものであり、これが経済学を社会科学の前衛だと考える理由です。

数学の定義

数学の分野は、応用だけではありません。実際、アプリケーションは、証明と定理の形で提供される実際の数学の結果です。たとえば、リング理論では、数学者a * 0 = 0はのすべての値に対してそれを証明する必要がありましたa。以下がその証拠です。 Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

このアプリケーションは、を使用して多くの個人に利益をもたらします5 * 0 = 0が、これは証明されたより広範な結果の結果にすぎません。

これらの証明はどのように構築されますか？定義を通じて。上記の結果を証明するために、それを仮定することはできませんでしたa(0 * 0) = a * 0 + a * 0。代わりに、定義上、行（1）を許可する「リング」の定義を使用する必要がありました。同様に、-(a * 0)行（2）で使用が許可されていることを知るために、「リング」の定義を使用する必要がありました。

経済学の定義

ただし、経済学は同じ能力の定義を使用しません。ここでは、定義は「用語の関係」ではなく「用語の定義」に厳密に使用されます。経済学では、短期的には、マネーサプライの拡大（インフレを引き起こす）が失業を減らすことを証明することはできません。経済学の定義はそれを行うように設定されていません。さらにそう、彼らはそれを行うことはできません。
経済学の定義ではこれができない理由の一部は、定義のためです。「良い」、「市場」、「需要」という用語を考えてください。これらの用語にはすべて、ずさんな定義があります。それらは実際には他の何かとは関係ありません。一方、「通貨」や「GDP」など、広範で正確な定義を持つ用語があります。これらの定義は意図的に選択されており、このため「通貨」と「GDP」の測定は正確です。
経済学に「貧弱な」定義がある別の理由は、経済学自体の研究によるものです。経済学は個人の要求に大きく依存しています。この需要を定量化することはできませんし、ある瞬間から次の瞬間まで同じままであるという保証もありません。したがって、特定の瞬間を超えて真実になる証明を構築する実際の方法はありません。このため、経済学は厳密な定義を必要としません。ただし、数学では、使用する数に関係なく証明を作成できるため、制限を超越して非常に広い文脈にまで広げることができます。上記の証明aでは、数字の代わりにその数字を使用したため、その数字だけを使用する必要はありません。を使用することによりa、任意の数を掛ける0ことで得られることがわかり0ます。

Edesessへの対応

Edesessはほとんど（おそらく95％）正しいです。実際、経済学の定義のほとんどは、数学的な定義が要求されるのと同じレベルまで「正確に定義」されていません。数学では、定義は数学コミュニティ全体で慎重に検討され、決定されます（経済的定義がそうではないと言うのではなく、それは私の知識の範囲外です）。また、経済学の性質上、定義を使用して何かを証明することはできません。
しかし、Edesessに応えて、経済学は発見の仕方に根本的な違いがあるため、数学として扱われるべきではありません。経済学は、世論調査、市場データ、需要と供給のグラフを通じて進歩しています。数学は、研究、証明、定理によって促進されます。

Edesessの批判は、ポイントを逃しています。現実は、数学的な定義の単なる誤用よりもはるかに深刻です。

数学的ステートメントの真実は、公理的論理レベルに使用された定義をリトレースする能力に強く依存します。この意味で、すでに存在する数学的/論理的に真の知識の本体に還元できない定義を乱用する数学者を見つけることはないでしょう。しかし、これは明白なことを述べています。

で応用科学の分野（生物学、医学、工学、などなど）、1つの実問題（問題領域）で始まり、または現象、およびモデル数学の言語で問題。目的は、数学的な問題を解決/研究/シミュレーションし、実際の問題について何かを言うことができるようにすることです。

批判は（50の60年代にサミュエルソンで開始）経済学の数学的-化について実際にあります。その主張は、一部のエコノミストは数学的領域への変換を行い、元の問題を見失い、問題領域に戻らない（つまり、人々、企業、リソースなどの相互作用）ことです。これらの経済学者は、線形代数関係の定式化、またはベクトル自己回帰方程式の解法に満足しているように見えます。経験的正当化はありません-または、悪いことに-そのような経済学は短期的な考慮事項を超えていると主張しています

これには多くの例があります。1つの明白な1は、いわゆる理論である一般均衡 -数学的に欠陥があることが示されただけでなく、（複数均衡を経由して（Sonnenscheinの、マンテル、1970年代にドブリュー定理は）参照）が、欠けているために仮定された任意の経験的なコンテンツを。その結果、一部のエコノミストは数学化された領域に留まることを好みます-おそらくより正確なモデル（計算可能なGE、動的GE、確率的GE、動的確率的GEなど）を追いかけます-したがって、経済学者が数学者に見せかける誤解された批判。そのような人々は、（問題領域の意味で）経済学者になりすまして、疑似数学者としてより正確に説明されると主張することができます。