ベルゲの最大定理を包絡定理にリンクする方法はありますか？

ベルゲの定理の状態

ましょう、共同連続関数である、の両方（連続して上下半連続）コンパクトな値の対応。最大化された値の関数と最大化関数は V（\ theta）：= \ max_ {x \ in X} f（x、\ theta）C ^ \ ast（\ theta）：= \ {x \ in C（\ theta）\ mid f（x、\ theta）= V（\ theta）\} 次にV：\ Theta \ to \ mathbb Rは連続で、C ^ \ ast：\ Theta \ rightrightarrows Xは上半連続。$X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$$f : X \times \Theta \to \mathbb R$$C : \Theta \rightrightarrows X$

$$V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$$ $$C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$$ $V : \Theta \to \mathbb R$$C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

VarianのMicroeconomic Analysis（1992）、490ページによると、エンベロープ定理は単純に次のとおりです。

$$\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$$

$x(a)$はf（\ cdot、a）の最大化子$f(\cdot, a)$です。

エンベロープ定理はベルゲの定理を伴うように思えますが、導出ははるかに単純に見えます。2つの間に関係はありますか？

それらは関連しており、通常は同じ議論に分類されますが、@ Alecosがコメントで言及しているように、2つの定理は異なることを示しています。

私があなたがしている関係は、導関数 が存在する場合、微分可能性は連続性を意味するため、最大値の定理の一部を利用できる場合があります。ただし、2つの定理を比較対照するには、結果だけを見てはなりません。前提条件も確認する必要があります。たとえば、最大値の定理は、なんらかの微分可能性を想定していません。エンベロープ定理は（少なくともいくつかの形で）あります。いずれにせよ、それぞれに当てはまる仮定は異なります（一部はより強い、一部はより弱い）。

また、これもあります。エンベロープ定理は、制御機能については何も教えてくれません。したがって、が上半連続であるという結果は確実に得られません。$C^*$

コメントからOPを引用する

効用関数と制約に関するどのような条件により、ベルゲの定理によって値関数の連続性が確立された後にのみ、エンベロープ定理を適用できますか？ people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

参照されているルーカス（1978）の論文では、命題1は、

ここで、は値関数であり、はその定義です。したがって、ここでは条件として特定されているのはPrice関数の連続性であるように見えますが、この論文の前半でLucasはユーティリティ関数を非負の関数として定義しています。$v(z,y;p)$$(i)$

継続的に区別可能、境界付き、増加し、厳密に凹型

論文の命題2は、さらなる仮定を必要とせずに、価値関数の微分可能性を確立します。