計量経済モデルの縮小形、識別問題およびテスト

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次の問題と、計量経済学における簡約形式の使用方法を理解するための助けを探しています

個々の健康のためのモデルを考える：

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

運動を除いて方程式のすべての変数がuと無相関であると仮定します。

A）運動のための簡約形式を書き留め、方程式のパラメーターが特定される条件を述べます。

B）パートcの識別仮定をどのようにテストできますか？

仮定するのは正しいですか：

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ 還元形として？

パラメータを簡単に特定するための条件です

$E(exercise|u)=0$

どうすればテストできますか？しかし、それは何のために良いのでしょうか？

econometrics

— クレメンテコルティレ
ソース

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これは、単一方程式線形モデルの機器変数に関する非常に標準的な質問です。あなたの質問のプリミティブを考えると、唯一の内生変数は運動です。この特定の質問に答えるには、次の2つの条件を満たす外部変数zが必要です。

cov（z、u）= 0。
$e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

次に進む前に、備考。構造モデル IはWooldridgeとゴールドバーガー大会、仮定さモデル以下の意味します。つまり、健康状態と共変量の因果関係を示すモデルです。これは重要な違いであり、以前の回答との不一致です。

ここで問題に戻ります。条件2は、連立方程式の文献で還元形式方程式と呼ばれるものです。これは、zを含むすべての外生変数への内生変数の線形投影にすぎません。

今、あなたの仮定されたモデルに縮小されたフォームを差し込むと、あなたは得るでしょう

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

$\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

$\phi$

$b_6$ $b_i$

テストに関しては、条件2（zと運動は部分的に相関している）を直接テストすることができ、前の回答のコメントとは逆のステップを常に報告する必要があります。このステップに関連して、特に弱い楽器に関する膨大な文献があります。

それにもかかわらず、2番目の条件を直接テストすることはできません。時には、経済理論を呼び出して、zの使用をサポートする代替仮説を正当化または提供する場合があります。

— マウオリバレス
ソース

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述べたように、質問は私にはあまり意味がありません。運動が内因性である（問題の期間と相関している）ことが問題で示されている場合、解決策では反対のことを想定できません。さらに、IV推定のコンテキストでは、通常、構造形式と縮小形式について話します。場合運動は内因性である、あなたは（運動を予測し、それ以外は健康には影響しない変数）因果効果を得るためにそれのための機器を必要としています。たとえば、サンプルの一部の人々がジムのメンバーシップクーポンをランダムに獲得した場合、それは有効な手段である可能性があります。

識別の仮定は

クーポンは実際に運動を予測します
クーポンはと直交しています $u$

いわゆる構造形式とは、2つの方程式であり、1つは元のモデル、もう1つはクーポンの行使の回帰、および元のモデルからのその他の説明変数です（最初の段階）。減らされた形とは、最初の段階をメインの方程式に代入する場合です。そのため、年齢、体重、...、仕事、およびクーポンで健康を後退させます（ただし、運動は除外されます）。IV推定の特性を説明するために縮小形が使用されることもありますが、実際にはあまり使用されていません。

— ivansml
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