OLS係数を導出する別の方法

では私の別の質問、回答はOLS係数の以下の導出を使用しました：

我々は、モデルを有する：未観測です。次に、
$Y = X_{1} β + X_{2} β_{2} + Z γ + ε,$ $Y = X_1 \beta + X_2 \beta_2 + Z \gamma + \varepsilon,$ $Z$ 及び。 $plim {\hat{β}}_{1} = β_{1} + γ \frac{C o v (X_{1}^{*}, Z)}{V a r (X_{1}^{*})} = β_{1},$ $\text{plim}\, \hat \beta_{1} = \beta_1 + \gamma \frac{Cov(X_1^*, Z)}{Var(X_1^*)} = \beta_1,$ $X_1^* = M_2 X_1$ $M_2 = [I - X_2(X_2'X_2)^{-1}X_2']$

いつもと違うこのルックス Iは、計量経済学で見てきたこと。この導出のより明確な説明はありますか？マトリックスの名前はありますか？ $\beta = (X'X)^{-1}X'Y$ $M_2$

econometrics regression

— ハイゼンベルク
ソース

ハンセンの講義ノートに記載されているのは確かですが、今のところ手元にありません。

— FooBar 2015年

マトリックス"アニヒレーター"またはマトリックスに関連付けられた"残留メーカー"行列である。（もちろん、独自の行列の場合）であるため、「消滅器」と呼ばれます。ので、 "残留メーカー"と呼ばれている回帰では、。 $\mathbf M = \mathbf I-\mathbf X(\mathbf X'\mathbf X)^{-1}\mathbf X'$ $\mathbf X$ $\mathbf M\mathbf X =0$ $X$ $\mathbf M \mathbf y =\mathbf {\hat e}$ $\mathbf y = \mathbf X \beta + \mathbf e$

これは、対称でべき等行列です。ガウス・マルコフの定理の証明に使用されます。

また、これはフリッシュ・ウォー・ロベルの定理で使用され、「パーティション化された回帰」の結果を得ることができます。これは、モデルで（行列形式）

y = X_{1} β_{1} + X_{2} β_{2} + u

$\mathbf y = \mathbf X_1\beta_1 + \mathbf X_2\beta_2 + \mathbf u$

私たちはそれを持っています

{\hat{β}}_{1} = (X_{1}^{'} M_{2} X_{1})^{- 1} (X_{1}^{'} M_{2}) y

$\hat \beta_1 = (\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf X_1)^{-1}(\mathbf X_1'\mathbf M_2)\mathbf y$

はべき等なので、上記を次のように書き直すことができます。 $\mathbf M_2$

{\hat{β}}_{1} = (X_{1}^{'} M_{2} M_{2} X_{1})^{- 1} (X_{1}^{'} M_{2} M_{2}) y

$\hat \beta_1 = (\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf M_2\mathbf X_1)^{-1}(\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf M_2)\mathbf y$

$M_2$

{\hat{β}}_{1} = ([M_{2} X_{1}]^{'} [M_{2} X_{1}])^{- 1} ([M_{2} X_{1}]^{'} [M_{2} y]

$\hat \beta_1 = ([\mathbf M_2\mathbf X_1]'[\mathbf M_2\mathbf X_1])^{-1}([\mathbf M_2\mathbf X_1]'[\mathbf M_2\mathbf y]$

しかし、これはモデルからの最小二乗推定量です

[M_{2} y] = [M_{2} X_{1}] β_{1} + M_{2} u

$[\mathbf M_2\mathbf y] = [\mathbf M_2\mathbf X_1]\beta_1 + \mathbf M_2\mathbf u$

$\mathbf M_2\mathbf y$ $\mathbf y$ $\mathbf X_2$

$\mathbf y$ $\mathbf X_2$ $\mathbf M_2\mathbf X_1$ $\hat \beta_1$ $\mathbf y$ $\mathbf X_1$ $\mathbf X_2$

$\mathbf X_1$ $\mathbf x_1$ $\mathbf M_2 \mathbf x_1$ $X_1$ $\mathbf X_2$ $\hat \beta_1$ $X_1$ $\mathbf X_2$ $Y$ $\mathbf X_2$

これは、古典的な最小二乗代数の象徴的な部分です。

— アレコスパパドプロス
ソース

答え始めましたが、私はこの答えと多くの重複がありました。この情報の多くは、Bill Greeneによる "Econometric Analysis"の第7版の3.2.4章にあります。

— cc7768 2015年

@ cc7768はい、それは最小二乗代数の良い情報源です。しかし、追加の資料を投稿することを躊躇しないでください。たとえば、本質的に私の答えはOPの2番目の質問のみをカバーしています。

— Alecos Papadopoulos、2015

M_{2} y

$\mathbf M_2y$

X_{1}

$\mathbf X_1$

{\hat{β}}_{1}

$\hat \beta_1$

M_{2} y

$\mathbf M_2y$

M_{2} X_{1}

$\mathbf M_2\mathbf X_1$

@ハイゼンベルク正しい。打ち間違え。それを修正し、もう少し追加しました。

— Alecos Papadopoulos、2015