行列表記で有限状態マルコフ過程の条件付き期待値を書く方法

注：この質問は、次の2つの質問で検討した計量経済学的手法に関連しています。

• 確率的成長時系列の乗法分解-固有関数/固有ベクトルの解決
• ハンセンで提案されたメジャーの変更の例（2012）

質問：$X_t$が遷移確率行列Pと与えられる実現値を持つ$n$マルコフ連鎖であると仮定します$\mathbb P$$n$次元座標ベクトルで。が、多変量正規分布ランダムベクトルのiid​​シーケンスであると仮定します。どのようにフォームの方程式表すであろう E [ EXPを（D ' のX T + X ' のT FのWのT + 1）、E （X T $\{W_{t+1} \}$ 行列 Mの固有ベクトル問題として？問題のプリミティブに関して Mを表現するにはどうすればよいですか？

$$E[\exp(D'X_t + X_t' F W_{t+1}) e(X_{t+1}) \mid X_t = x] = \exp(\eta) e(x)$$ $\mathbb M$$\mathbb M$

$n$$\{x_1,...,x_n\}$$\vec e = [e(x_1), ..., e(x_n)]'$$X_{t+1} \mid X_t$$W_{t+1}$

$$\begin{align*} \exp(\eta) e(x) &= E[\exp(D'x + x' F W_{t+1})] E[ e(X_{t+1}) \mid X_t = x] \\ &= \exp(D'x + x' F F' x)\, E[ e(X_{t+1}) \mid X_t = x] . \end{align*}$$ $x= x_1, ..., x_n$ $$\begin{align*} \vec e \, \exp(\eta) &= \begin{bmatrix} \exp(D'x_1 + x_1' F F' x_1)\, E[ e(X_{t+1}) \mid X_t = x_1] \\ ... \\ \exp(D'x_n + x_n' F F' x_n)\, E[ e(X_{t+1}) \mid X_t = x_n] \\ \end{bmatrix}\\ &= \text{diag} \begin{bmatrix} \exp(D'x_1 + x_1' F F' x_1) \\ ... \\ \exp(D'x_n + x_n' F F' x_n) \\ \end{bmatrix} \, \mathbb P \, \vec e \\ &= \text{diag}(f)\, \mathbb P \, \vec e \\ \end{align*}$$ $f = [ \exp(D'x_1 + x_1' F F' x_1), ..., \exp(D'x_n + x_n' F F' x_n) ]'$$\text{diag}$は、ベクトルを受け取り、非対角要素がゼロである行列の対角に配置する演算子です。そこで、我々は、線形演算子として方程式を表現することができ上の機器→ E と DIAG （F $\mathbb M$$\vec e$ $$\begin{align*} \text{diag}(f)\, \mathbb P \, \vec e &= \vec e \, \exp(\eta) \\ \mathbb M \vec e &= \vec e \, \exp(\eta). \end{align*}$$