凹面ユーティリティ関数コーナーソリューションの説明

私はこれを得ていないようです。誰かが私に凹面効用関数を示す数学的な方法を説明してもらえますか（予算の制約を受ける（ax ^ 2 + by ^ 2）のような）コーナーソリューションがあります。私はその背後にある経済的な直観を得ますが、その背後にある数学的な部分は得られません。

直観的には、コーナーソリューションが可能な限り最高の無関心曲線上にあることがわかります（凹型の好みの場合）。したがって、得られる効用はこれらの点で最も高くなります。次の図（礼儀-Google画像）は、上記のステートメントを視覚化するのに役立ちます。

数学的には、何が起こっているかを視覚化するのは少し難しいです。ただし、Kuhn Tuckerの条件は、コーナーソリューションが存在するかどうかを判断できます（Kuhn-Tuckerの定理を使用している間は、好みの凹凸が役に立たないことに注意してください。ただし、目的関数/制約の微分可能性を確認する必要があります） 。まず、Weierstrassの定理によれば、$U(x_1,x_2)$最適点が予算セットB （p 1、p 2、w ）= { （x 1、x 2）に存在することが保証されます$B(p_1,p_2,w)=\{(x_1,x_2):p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq w\}$（場合にのみ$U(x_1,x_2)$、すなわち、所与のドメインにおいて連続的であり、予算のセット）。これは、$x_1=0$または$x_2=0$いずれか、またはその両方である解/最適点を除外できないことを示しています。ここで、コーナーソリューションが存在するかどうかを確認するために、次の手順を実行できます。最大化問題を検討する

$$\begin{gather*} \max\ U(x_1,x_2); \\ s.t.\ p_1x_1+p_2x_2\leq w;\ x_1\geq 0, x_2\geq 0.\\ \end{gather*}$$ $$\begin{align} L = U(x_1,x_2)+ \lambda(w-p_1x_1+p_2x_2)+ \mu_1 x_1+ \mu_2 x_2. \end{align}$$

$$\begin{gather*} \frac{\partial L}{\partial x_1}\leq0\tag{1}\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}\leq0\tag{2}\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}\leq0 ,\ \frac{\partial L}{\partial \mu_1}\leq0\ ,\frac{\partial L}{\partial \mu_2}\leq0\tag{3}\\ \lambda\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\tag{4}\\ \mu_1\frac{\partial L}{\partial \mu_1}=0\ ,\mu_2\frac{\partial L}{\partial \mu_2}=0\tag{5} \end{gather*}$$

$(1)$$(2)$

$(5)$$\mu_1 x_1=0$$\mu_2 x_2=0$$\mu_i=0$$x_i = 0$

$U(x_1,x_2) = x_1 + \ln(x_2)$

$$\begin{gather*} x_1= \begin{cases} \frac{w}{p_1} - 1,& \text{if } w>p_1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\\ x_2= \begin{cases} \frac{p_1}{p_2} ,& \text{if } w>p_1\\ \frac{w}{p_2}, & \text{otherwise} \end{cases} \end{gather*}$$

$w\leq p_1$