Kuhn-Tucker条件を使用した経済学の最適化問題の難しさ（解釈の難しさ）

1

次の問題を正しく解決できません。

企業は、生産する2つの製品の数量の販売から得られる収入が特定の最小しきい値を超えることを条件に、総費用を最小限に抑えたいと考えています。それぞれの良い製造の単位コストはフォームで生成出力の線形関数であることを知っている：生成されるすべてが販売されていること、および製品の販売価格があることを、およびです。数量を決定する $x_1, x_2$ $C_1 = x_1, C_2 = 2x_2$ $p_1 = 1$ $p_2 = 3$ プロセスのコストを最小化する。 $x_1, x_2$

解決：

$x_1 = 6/11$

$x_2 = 9/11$

$\lambda = -12/11$

$TotalCost(x_1,x_2) = 18/11$

一般的な方法で解決しようとしました：Kuhn-Tucker条件でラグランジュ関数を使用します。しかし、何度か試してみましたが、正しい解決策に到達することはできません。問題が解決したいことの経済的意味を適切に理解していない結果として、ラグランジュ関数を正しく構築していないと思います。

あなたが正しい解に到達する方法を理解するために私を助けることができるのであれば、私は本当にgreatefulだろう、この特定の問題を明確ことを知って、ラグランジュ関数とその制限を構築する方法は、完全に問題とその解決策を理解するために、ここで必要とされるものはおそらくです。

optimization

— イグナシオ・バルデス・ザムディオ
ソース

Kuhn-Tucker乗数が負のときから？この練習はどこで受けましたか？

— アレコスパパドプロス

また、「収入」とは「利益」を意味します（収益から費用を引いたもの）。

— アレコスパパドプロス

私は常に負のラムダを使用してきましたが、それ以外の場合は適切に機能しました。そして、ハンドブックによれば、「利益」ではなく「収入」（つまり収益）と書かれています。とにかく、可能であれば、ラグランジュ関数を正しく作成できるようにするために、問題の正しい解釈をお願いします。ありがとうございました。

— イグナシオバルデスザムディオ

0

$k$

$min(f) = - max(-f)$
ラグランジアンを定式化します。
ラグランジュの偏微分を取得します。
$x_1$ $x_2$
$x_1=2x_2 / 3$
$x_1$ $x_2$
$x_1$ $x_2$
$x_1$ $x_2$

$k=3$ $TotalCost=18/11$ $x_1=6/11$ $x_2=9/11$

$12/11$ $2x_1=λ$

— イニャキ・ヴィガーズ
ソース

詳細で明確な説明をありがとう、イニャキ。C1 = x_1およびC2 = 2x_2であるため、x_1および2x_2（正方形なし）の代わりに、最初にx_1正方形および2x_2正方形を選択した理由を除き、すべてを実行しました。決定の理由を明確にしていただければ幸いです。

— イグナシオバルデスザムディオ

1

@IgnacioValdésZamudio最適化する関数はであり、問題はおよびあることを示しています。関数のとを置き換えると、2次項が得られます。

C_{1} x_{1} + 2 C_{2} x_{2}

$C_1 x_1 + 2 C_2 x_2$

C_{1} = x_{1}

$C_1 = x_1$

C_{2} = x_{2}

$C_2 = x_2$

C_{1}

$C_1$

C_{2}

$C_2$

— イニャキビガーズ

1

そのとおり。最後に、すべてが理にかなっています。お時間と説明ありがとうございました。

— イグナシオバルデスザムディオ

1

OPはコメントで、a）ここでの「収入」は「収益」を意味し、「利益」を意味するわけではありません（常にそうではありません）。b）Karush-Kuhn-Tucker乗数は、非負ではなく非正（それらはそうですが、広く知られている事実ではありません）。

問題の記述にある他の悪い用語は「単位コスト」です-それは実際には「限界コスト」を意味します。そのため、偏微分から総コスト関数を取得する必要があります。クロスパーシャルがゼロであることがわかるため、これは簡単です。

だから

\frac{\partial T C}{\partial x_{1}} = x_{1}, \frac{\partial T C}{\partial x_{2}} = 2 x_{2}

$\frac {\partial TC}{\partial x_1} = x_1,\;\; \frac {\partial TC}{\partial x_2} = 2x_2$

それに続く

T C = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + F C, F C \geq 0

$TC = \frac 12 x_1^2 + x_2^2 + FC,\;\;\;FC\geq 0$

そして、制約、それを最小化したいと思い。 $p_1x_1 + p_2x_2 \geq \bar R$

PS：収益の下限はですか？ $3$

— アレコスパパドプロス
ソース

説明をありがとう。そして、はい、この問題で使用される用語は最高ではありません。しかし、ここで2つの質問があります。FCは何に対応しますか？そして、なぜ収益の下限は3にすべきだと思いますか？

— イグナシオバルデスザムディオ

1

@IgnacioValdésZamudio「FC」は固定費です。依存しません。数学的完全性と正確性のためにありますが、ソリューションには影響しません。収益の下限がであるということは、簡単な計算により、あなたが見つけるはずの特定の数値解と一致しているように見えます。

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$

3

$3$

— アレコスパパドプロス

ああ、はい、私はそれを得ました。両方の説明をありがとう。

— イグナシオバルデスザムディオ