確率過程の構築を理解する

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次の方法でモデル化/構築された確率的プロセスを見てきました。

確率空間考えてみましょうしてみましょう（測定可能）変換可能、我々はサンプルポイントの進化モデル化するために使用することを時間をかけて。また、ランダムベクトル。次に、確率過程 $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ 式を介して、観察のシーケンスをモデル化するために使用されるまたは $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

どのように私は、サンプル点を理解する必要がありと変換この構成では？（は特定の場合に一連のショックのようなものになるでしょうか？） $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

より具体的にするために、この表記法でこれら2つのプロセスをどのように記述しますか？

工程1： ここで、。

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

工程2：

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— ジャンベハラ
ソース

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あなたが説明するこの構造は完全に一般的ではありません。実際、厳密に定常的な時系列を特徴づけます。シフト不変であることがわかります。この演算子は、本質的にシフト演算子です。 $S$

比較のために、ここでは、離散時間プロセスの通常の定義を示します。

定義確率的プロセスは、確率空間上のボレル測定可能マップのシーケンスです。 $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

これで、説明する内容については、固定された Borel測定可能マップます。に従って進化しているのは、基礎となる尺度です。マップ上（測定論的用語で）新たな「プッシュ・フォワード措置を」誘導だけpreimagesを取ることによって：メジャーを定義により、 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

$\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

$C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

$\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

参照厳密に定常的な時系列のシフトによるこの特性化/構築は、計量経済学者のためのホワイトの漸近理論で言及されています。

— マイケル
ソース

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

1

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

1

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

最初の例は、最初の例の詳細です。

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

これまで見てきたように、演算S自体はかなりあいまいであり、合理的に解釈するのが困難です。ただし、注意すべき点は、変換を保持するメジャーを定義し、その下で画像を撮影すると同じメジャーを持つセットが生成されることです。したがって、この関数は、時間における状態空間の測定のダイナミクスです。

— ニキータ・トロポフ
ソース

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彼は、が決定論的であり、が観測不可能であると考えているだけです。次に、をに関する不完全な情報の形式として観察します $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— パット・W
ソース