最適制御が失敗したとき（？）

「質問をする」ためには、まずモデルを解かなければなりません。いくつかの手順を省略しますが、それでもこの投稿を非常に長くすることは避けられないので、これはこのコミュニティがそのような質問を好むかどうかを確認するテストでもあります。

始める前に、これは連続時間では標準的な新古典主義の成長モデルのように見えるかもしれませんが、そうではないことを明確にします。それは、彼の周りの経済、モデル化されていません。ここでのフレームワークは、「単一の個人の最大化問題への最適制御の適用」です。これは、Optimal Controlソリューションのフレームワークと方法自体に関するものです。

私たちは、彼の会社の資本を所有している小さなビジネスマンが、完全に競争の激しい労働市場で労働サービスを購入し、完全に競争の激しい商品市場で彼の製品（新鮮なドーナツ）を販売するという、異時点間のユーティリティ最大化問題を解決しますモデルを不確実性なしで（社会経済的条件が安定している）連続時間で設定し、無限の地平線で（ビジネスマンは彼の多くの将来のコピーを連続して想定しています）：

\underset{c 、 ℓ 、 k}{最大} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t st \dot{k} = f （ k 、 ℓ ） - w ℓ - δ k - c \underset{t \to \infty}{リム} e^{- ρ t} λ （ t ） k （ t ） = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

ここで、 $c$ はビジネスマンの消費、 $\ln c$ は消費からの瞬間効用、 $\rho>0$ は純時間選好率、 $k$ は企業の資本、 $\delta$ は資本減価償却率、 $f(k,\ell)$ ビジネスの生産機能です。資本の初期レベルが与えられ $k_0$ ます。ビジネスマン自身のビジネスでの職業は資本に含まれています。生産関数は、標準の新古典的です（一定のスケールリターン、正の限界積、負の第2部分関数、稲田条件）。制約は、資本の動きの法則、および現在の値の乗数を使用した横断性条件です。

現在値ハミルトニアンの設定

\hat{H} = \ln c + λ [f （ k 、 ℓ ） - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

一次条件を計算します

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

それらを組み合わせて、ビジネスマンの消費の進化の法則を取得します。

\begin{matrix} （1） & \dot{c} = （ f_{k} - δ - ρ ） c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

労働需要の最適ルール（静的）および定数がスケール含意に戻る（）を取得します。私たちが得る資本の移動の法則にこれを挿入する $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} （2） & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

式およびは微分方程式系を形成します。ビジネスマンの消費と資本の定常値は次のとおりです。 $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} （3） & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*} 、 k^{*} ： f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} （3a） & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

...これはかなり馴染みのある表現です。

$k^*$ は、「修正ゴールデンルール」レベルの資本と呼ばれることもあります。定常状態値で評価されたシステムのヤコビアンは、モデルパラメーターの値に対して負の行列式を持ちます。これは、システムがサドルパスの安定性を示すために必要かつ十分な条件です。

軌跡の最大値は、ポイント（「ゴールデンルール」レベルの資本と呼ばれることもあります） $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} （4） & \overset{〜}{k} ： f_{k k} （ \overset{〜}{k} ） \overset{〜}{k} + f_{k} （ \overset{〜}{k} ） - δ = 0 \Rightarrow f_{k} （ \overset{〜}{k} ） = δ - f_{k k} （ \overset{〜}{k} ） \overset{〜}{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

値はベンチマークとして重要である：それは資本のレベルであるおよびである最大値（ない最適又は定常状態）。 $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

の定常状態の資本レベルでの相図（その対策資本）の軌跡交差横軸。 $\dot c=0$ $k^*$

場合は、必要とする負の第2パーシャルのために、私たちは「資本の過剰蓄積を」必要があります（あまりにも多くのドーナツが）：ビジネスマンが楽しむことができ、より定常資本のレベルが低い状態の消費。使い方と私たちは持っているが $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} （ \overset{〜}{k} ） \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} （ \overset{〜}{k} ） \overset{〜}{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} （5） & \Rightarrow ρ < - f_{k k} （ \overset{〜}{k} ） \overset{〜}{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

不平等は、準最適な資本水準の条件です。そして問題は、それを排除することはできないということです。それは、ビジネスマンが「十分に忍耐強く」、純粋な時間選好の十分に低い率であるが、それでも肯定的であることを単に必要とします。 $(5)$

ここから問題が始まります。資本の過剰蓄積は、代表的なエージェントモデルでは事実上除外されます。世代交代モデルでは可能ですが、マクロ経済レベルでの意図しない結果として、マクロ経済はミクロの基礎であり、ミクロの世界とは異なる振る舞いをするという初期の例の1つです。

しかし、私たちのモデルはどちらのカテゴリーにも該当しません：暗黙的に不均一な環境での単一エージェントの部分平衡モデルです-そして、ここでの一般的な平衡は結果を変えません：この人は自分だけを表しています。したがって、問題は、が成り立つ場合、最適制御ソリューションは明らかに準最適になるということです。ここでは、私たちは一人の人間、単一の意志、単一の心を持っているからです。ねえ、この方法は価値がありません。そのアドバイスに従えば、次善の水準の資本になります」。 $(5)$

そして、私は単に私が見ることができないので、「まあ、最適制御は、この問題のために、別の方法を試す適切ではない」と言って満足していない、なぜ我々はそれが不適当考慮すべきです。それが適切であるならば、この方法はその何かが間違っている信号はずです。しかし、それはいくつかの点でなければならない必要ことないではない、ので、発生した場合（ソリューションを提供することができるようにするために、ホールドありませんホールド、すべてが盛り上がります）。 $(5)$ $(5)$

「が成り立つ場合、多分横断性の条件に違反しているのだろうか？」-しかし、正の定数になるであるので、はゼロ、そののみが必要です。 $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

私の質問：

1）誰かがここで洞察を提供できますか？

2）誰かがダイナミックプログラミングを使用してこれを解決し、結果を報告してくれたらありがたいです。

補遺
数学的な観点から、このモデルの決定的な違いは、最適化された資本移動の法則eq。標準モデルのように出力全体ではなく、資本へのリターンのみが含まれます。そして、これは、「個々のビジネス最大化問題」フレームワークでは予想される出力に対して財産権を分離したために起こります。 $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— アレコスパパドプロス
ソース

「kdot = 0軌跡の最大値」と言うときの意味がわかりません。何に関して最大ですか？また、（4）を計算するとき、（2）を完全に微分してはいけません。つまり、kを変更した後でもkdot = 0が満たされるようにするために必要なcの変化を計算するべきではありませんか。

— ユビキタス

資本に関する@Ubiquitious Maximum。これがまさに位相図の描画方法ですが、これらの計算もここに含めることはできませんでした。2番目の質問：はで設定し、消費を資本関数（定常状態の値では評価されません）。この軌跡の形状を得るために、資本に関して区別します。

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— アレコスパパドプロ14

すべてを確認したわけではありませんが、1つの問題は、労働最適条件が（CRSの下で）資本/労働比率を決定し、それが資本の限界生産物を決定することです。したがって、最適経路に沿って一定になります。このモデルは、外生金利の標準的な消費節約問題に相当するため、MPK-delta> rhoの場合、エージェントの消費は一定の割合で増加します（つまり、定常状態はありません）。

— ivansml 14

@ivansml。貢献してくれてありがとう。しかし、ソリューションはとは言っていません。定常状態は、 eq の時点です。。問題は、この定常状態が対応する資本のレベルと、それが「ゴールデンルール」レベル上回るか下回るかです。

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— アレコスパパドプロ14

今、私はこの質問がかなり古いことに気付きました...それは問題ではないことを願っています。トピックに戻るは、労働FOCによって決定される必要があります。定常状態は、この値が等しい場合にのみ存在します。つまり、偶然（または一般的な平衡の考慮）によってです。それが高ければ、エージェントは無期限に資本を蓄積し、彼の消費は増加します。それが低ければ、彼は資本を減額し、彼の消費は減少します。それはすべて、CRSの仮定によるものです。「収益」関数は、企業が労働を最適化するとで線形になるため、着実な成長が可能です。

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml 14

回答:

問題は、定常状態が存在しない可能性があり、代わりにシステムが安定した成長を示すことです（パラメータに応じて）。

その理由は、モデルが外生的かつ一定の金利を伴う標準的な消費節約問題と同等だからです。それを見るために、まず労働選択の1次条件を考えます（ここで、は wrtの偏微分です番目の引数）。定数収益の定義を使用すると、労働の限界生産物はこれは資本労働比率のみの関数です。賃金が一定の場合、労働FOCは最適な一意に決定し $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f （ k 、 ℓ ） = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f （ \frac{k}{ℓ} 、 1 ） ℓ] = f_{1} （ \frac{k}{ℓ} 、 1 ） \frac{- k}{ℓ} + f （ \frac{k}{ℓ} 、 1 ）

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ 賃金およびその他のパラメーターの関数としての比率。資本の周辺積も依存し、最適パスに沿って一定になります。限界積この値を示し、減価償却のリターンネットます。式（1） - （2）資本及び消費のダイナミクスは、その後さのためにと横断性条件を満たす特定の解はなければなりません

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f （ k 、 ℓ ） = \frac{\partial}{\partial k} [f （ \frac{k}{ℓ} 、 1 ） ℓ] = f_{1} （ \frac{k}{ℓ} 、 1 ）

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = （ r - ρ ） c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ 与えられ、富のすなわち一定の部分は、それぞれの瞬間で消費されます。資本と消費はどちらも率で成長するため、資本利益率（ここでは外生賃金率依存）が時間選好率に等しくない限り、定常状態はありません。

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
ソース

（+1）ありがとう。私はこれを私の答えに取り込んでいます。

— アレコスパパドプロ14

素晴らしい答え。基本的に、労働が最適に選択されると、利益関数は資本で線形になります。したがって、このモデルは、特性（定常状態の成長を含む）がよく理解されているAKモデルに要約されます。

— 公称剛性14

@nominallyrigidしかし、賃金が一定であると仮定した場合のみ。これは一般的な均衡ではなく、経済の海で泳いでいる小さな個人であることに注意してください。

— アレコスパパドプロ14

私はこれを回答として投稿しています。ユーザー@ivansmlの回答に続いているためです...これはここでキャッチを特定したものであり、私が単純に見落としていたキャッチです（狭いケースですが、興味深いパーが後に続きます。それにもかかわらず、それは対処されるべきでした）。

実際、外生的な賃金率と労働需要の完全な競争最適化により、資本の限界生産物はモデルのパラメーターと賃金率によってのみ決定されます。賃金率が一定であると仮定する単純なケースでは、@ ivansmlの分析が成り立ちます：モデルは内生成長の1つになります：資本の限界生産物は一定です。これは内生成長に必要なもので、安定性はありません。レベルの状態。

示すと、式及び OPのを書き込むことができます $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} （1b） & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} （2b） & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

以来パラメータおよび賃金に応じてゼロ、正、又は負、 -一定であり、消費の成長速度は一定です。一方、を時間に関して微分すると、 $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = （ \hat{k} - \hat{c} ） \cdot （ c / k ）

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

そして、定常状態の成長にはであることは明らかです。これは、から場合にのみ取得されます。であるため、横断性の条件が保持される唯一の方法は、消費と資本が同じ率で成長または縮小する（または一定のままである）ことを確認するのは簡単です。 $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

経済全体を検証する適切な内生成長モデルでは、モデルのパラメーターは正の成長率が存在するものであると仮定します。これは実際の世界で観察されていることだからです。しかし、ここでは、たった一人の個人がいます。それでは、ビジネスマンに何を伝えているのでしょうか？

場合、成長率は正であり、そして彼の消費と資本の両方が一定の比率を維持し、「永遠に」成長する必要があります。もし、成長率はゼロであり、両方の変数滞在永遠定数。場合、成長率はマイナスであり、我々は（常に関係維持の消費と資本を減少させるの下方スパイラルに入る必要がある）。 $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

これには、Optimal Controlアプリケーションの適切性を検証する直感があります。他のパラメーターと賃金率を考えると、「焦り」が大きいほど（が大きいほど）、消費レベルが低下する可能性が高くなります。将来、ひいては投資は彼の好みにはあまり関係ありません。もちろん、単調な下向きスパイラルは、ソリューションとしてはあまり現実的ではないかもしれませんが、これは非常に様式化されたモデルであり、必然的に非常に形式的な数学言語で本質的に一般的な傾向を提供します。 $\rho$

本当に面白い部分があれば起動します私たちは、変数賃金を考えます。これは、私たちの小さなビジネスマンと彼の消費投資の決定のために、あらゆる種類の興味深い複雑なダイナミクスを作成できます。

— アレコスパパドプロス
ソース

重要な問題は、この企業が経済で唯一の企業であるかどうかだと思います。その場合、は自身の資本蓄積の決定の影響を受けるため、を与えられたに取るのはもはや正しくありません。この場合、ハミルトニアンの設定中に方程式（2）の前に行った置換を行う必要があります。一方、これが多くの企業の1つである場合、賃金率が外生的である場合、eq。（2）は無効です。私はあなたが慎重にビッグエンディアンを区別する必要があると思う、経済の総資本、そしてリトルこの意思決定者によって選ばれた首都。 $w$ $w$ $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
ソース

私は、集約に影響を与えるには小さすぎるままである単一の会社を厳しく見ています。したがって、2番目のコメントは関連性があり、「方程式（2）の前の置換は無効です」と言います。理由はわかりません。それについて詳しく説明できますか（できれば正式に）ください。ありがとうございました。

— アレコスパパドプロ

@AlecosPapadopoulos問題は数学的なものではなく、解釈の問題だと思います。私の会社が小さすぎて経済に影響を与えない場合、選択したに関係なく、またはの場合はなぜでしょうか？）、その後のRHSを微分に対して式。

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya 14年

@JyotirmoyBhattacharyaこれは、競争市場を想定した標準的な結果です。

— FooBar 14年

@FooBar競争市場では、とを選択してとます。条件は、任意のおよびでは成り立ちません。

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya 14年

結局のところ、ハミルトニアンを書く必要があり、これをさらに長くする必要があります。

— アレコスパパドプロ14