Burdett Mortensen（1998）における価値関数の微分

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私は現在、就職活動に関するバーデットとモーテンセンの古典的な論文を調べています。予約賃金の式を見つける簡単なタスクは、max演算子の存在によって少し複雑になります。賃金支払う仕事の価値について、次のベルマン方程式に直面します。ベルマン方程式は標準です。ジョブが支払うの値賃金で構成されていプラス検索し、仕事のオファーがやって来る確率で割り引いより良い仕事探しから期待ゲインジョブがレートで破壊されたときにプラス失業が原因の損失を。失業の価値 $w$ $w$ $w$ $\lambda_1$ $\delta$ $V_0$ 失業給付金加えて、オファーが沿って来る確率によって割り引かれる就職からの予想利益から構成され。オファーが行われる確率は、誰かがすでに雇用されているか失業しているかによって異なることに注意してください。オファーの分布は次式で与えられる $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

ので

に増加して

及び

それとは独立している我々は、予約賃金は、このような場合、その存在を知っている

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

、

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$

および

。標準引数（部分積分）することを示している

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$

私は最初の式の導関数を取るとするために解決したいと思い、ここから

。ただし、ライプニッツ統合ルールを使用する場合、被積分関数を微分可能にする必要があります。2つの連続関数の最大値は通常、それらが等しい場合に区別できないため、問題があります。私はすべての上に統合することを前提とした場合

その後、

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ （労働者が仕事を切り替えるように誘導する賃金オファー）そして結果はライプニッツのルールに従います。しかし、分配には受け入れられない賃金があり、この派生物は保持されません。誘導体である

私は何かが欠けていますが、私はわからないんだけど何を想像してください。誰かが私にアドバイスを与えることができれば私はそれを本当に感謝します。

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$

labor-economics search-and-matching

— マーク
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2

$\max_{\{\cdot\}}$

価値関数が複雑で微分可能性がない場合でも、最適化問題を解決するためのソリューションが存在するための継続性のみが必要です。

— キツネ騎兵
ソース

0

$F$ $F(\overline{w})=1$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

$I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— daniel_EDI
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