応答変数が

私の推定モデルは

\hat{\ln} (y_{t}) = 9.873 - 0.472 \ln (x_{t 2}) - 0.01 x_{t 3}

$\hat \ln(y_t)=9.873-0.472\ln(x_{t2})-0.01x_{t3}$

および場合、の平均の95％信頼度で予測CIを見つけるように求められます。我々はそれが想定している、。 $y_0$ $x_{02}=250$ $x_{03}=8$ $s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$ $x_0=(250,8)$

私は昨年の解決策を持っています、それはこのようになります：

I形式のCI見つける、ある分配の上部位数 $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$ $t$ $\alpha/2$ および $t(n-k)$ 。これは私与え。 $s_E=\sqrt{0.000243952}$ $[7.1563,7.2175]$

その後、著者はない。 $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$

私はこの最後のステップに同意しません（ジェンセンの不等式により、過小評価します）。ウォルドリッジの計量経済学入門（212ページ）で、エラーの項が正常であることが確実であれば、一貫した推定量は次のようになると述べています。

\hat{E} [y_{0} | x_{0}] = e^{s^{2} / 2} e^{\hat{\ln} (y_{0})}

$\hat E[y_0|x_0]=e^{s^2/2}e^{\hat \ln(y_0)}$

だから、私はやろうと考えていました

CI (E [y_{0} | x_{0}]) = [e^{s^{2} / 2} 1282.158, e^{s^{2} / 2} 1363.077] = [1282.314, 1363.243]

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2} 1282.158,e^{s^2/2}1363.077 \right] = \left[ 1282.314,1363.243 \right]$

これは正しいです？

また、この運動状態を解決するには、ことを、私が持っているいずれかの溶液から遠くなります。 $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

任意の助けいただければ幸いです。

PS：私はまた、補正がCIにだけ点推定のために使用すべきではないことを読ん $\hat E[y_0|x_0]$

econometrics prediction

— 海の老人。
ソース

回答:

：あなたはので、私はこのようにあなたの問題の主な理由だろう誤字であると疑われるものの同じ答えが見つからないに設定されます、いない。あなたが続ける場合は、別の可能性は、、第2の推定係数、言うでエラーであるの代わりに、。 $x_{03}$ $80$ $8$ $x_{03}=8$ $\hat{\beta}_2 = -0.1$ $-0.01$

とにかく、これらの変更の1つはすべてを解決し、この演習のソリューションと同じ結果をもたらします。

で、この変更を考慮すると、1を取得します $t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

方法1

（この練習に与えられた液） $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$

または

方法2

（212ページのWooldridge's Intro to Econometrics、in pageで述べたように）エラー条件が正常であると確信している場合（そして1つは非常に幸運です）

CI (E [y_{0} | x_{0}]) = [e^{s^{2} / 2} 624.0203, e^{s^{2} / 2} 663.5193] = [624.0960, 663.6002]

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=\left[e^{s^2/2}624.0203,e^{s^2/2}663.5193 \right] = \left[ 624.0960,663.6002 \right]$

しかしながら

質問2で言及しているように、方法2が正しい可能性は非常に低いです。[...]（過小評価）補正はCIに使用するのではなく、ポイント推定にのみ使用する必要があります。

$e^{s^2/2}$ $\hat{y_0}$ $e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

— 生き続ける
ソース

ポイント予測とCIは異なります。

$100(1-\alpha)\%$ $[a,b]$ $\ln(y_0)$ $[e^a,e^b]$ $y_0$ $P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$ $[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

$\ln y_0$ $y_0$ $[e^{a-p}, e^{b-q}]$ $p$ $q$

$[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$ $h$ $he^{\theta}$ $\theta$ $\ln y_0$ $\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$ $h$ $e^{s^2/2}$ $h$ $[a,b]$ $\ln y_0$ $P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$

P (h e^{a} \leq y_{0} \leq h e^{b}) = P (\ln h + a \leq \ln y_{0} \leq \ln h + b),

$P(he^a \le y_0 \le he^b) = P(\ln h+a \le \ln y_0 \le \ln h+b),$

P (a \leq \ln y_{0} \leq b) = 0.95

$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$

\ln y_{0}

$\ln y_0$

編集

$y_0$ $E(y|X=x_0)$ $E(y|X=x_0)$ $E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$ $\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$ 。その場合、Delta法は便利なオプションだと思います（luchonachoの回答を参照）。

$\hat{h}$ $\hat\beta$ $\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$ $\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$ $h\exp(x_0\beta)$

— chan1142
ソース

y_{0}

$y_0$

E (y | X_{0})

$E(y|X_0)$

E (y | X_{0})

$E(y|X_0)$

y_{0}

$y_0$

はい、役立ちます。私のこの質問をチェックしてください。これに関連しています。 economics.stackexchange.com/questions/16891/...

— 海での老人。

E (y | X = x_{0})

$E(y|X=x_0)$

\exp {E (\log y | X = x_{0})}

$\exp\{E(\log y|X=x_0)\}$

\exp (x_{0} \hat{β})

$\exp(x_0{\hat\beta})$

\exp (x_{0} β)

$\exp(x_0 \beta)$ 、あなたが育てたものではありません。うーん、その場合、あなたの発言はさらに興味深いものになります。

— chan1142

E (y | X = x_{0})

$E(y|X=x_0)$

チャン、私はこれに私の別の質問を関連付けました。そこには、私が書いた答えが見つかるでしょう。

— 海の老人。

$\beta$

\hat{β} \overset{a}{\to} N (β, \frac{V a r (\hat{β})}{n})

$\hat{\beta} \xrightarrow{a} N\left(\beta,\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$

（推定が一貫していると仮定）

$\hat{\beta}$ $F(\hat{\beta})$

F (\hat{β}) \overset{a}{\to} N (F (β), {(\frac{\partial F (\hat{β})}{\partial \hat{β}})}^{2} \frac{V a r (\hat{β})}{n})

$F(\hat{\beta}) \xrightarrow{a} N\left(F(\beta),\left(\frac{\partial F(\hat{\beta})}{\partial \hat{\beta}}\right)^2\frac{Var(\hat{\beta})}{n}\right)$

$F(\hat{\beta})$ $e^\hat{\beta}$

リンクされたドキュメントのソースおよび詳細。

— ルチョナチョ
ソース

ルチョ、私はこれにデルタ法を使うことはできません...しかしとにかくありがとう。;）

— 海の老人。

：oなんで？私が誤って読んだり述べなかったりした仮定

— luchonacho 2017年

演習のポイントではありません。どちらの方法が正しいのかを知りたいと思っています。また、メソッドはおおよその分布を示しますが、演習では正確なCIが必要です。

— 海の老人。