新古典派成長モデルの横断性条件

新古典派の成長モデルには、次の横断条件があります。

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

t

$t$

私の質問は：

この状態はどのようにして導き出されるのでしょうか？
債務の累積がない経路を除外したいのに、なぜこれが必要なのでしょうか。
なぜラグランジュ乗数が現在の資本の割引額なのですか？ $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
ソース

区別のためにこれらの答えをチェック横断の最適条件とソルベンシー外因性の制約、economics.stackexchange.com/a/13681/61 とeconomics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecosパパドプロス

私はこの投稿で横断性の条件の背後にある直観について数学ではなく平易な言葉で説明しようとしました：medium.com/@alexanderdouglas/…私はマクロ経済学者ではないので、間違いがあるかもしれません。もしそうなら、私はいくつかの返信がすぐに表示されることを期待しています。

— アレクサンダーダグラス

外部コンテンツへのリンクのみを提供するため、これはコメントである必要があります。また、横断性の条件は、不確実性が存在しない決定論的モデルでも課せられる条件であるため、期待形成に関するいかなる仮定にも依存しません。そしてそれは特に政府債務に関連しているのではなく、一般にあらゆる資産に関連しています。基本的なポイントは次のとおりです。遺贈の動機がない（私たちは子孫や社会を気にしない）と仮定すると、消費されていない富を "残す"のは最適ではありません。これですべてです。

— Alecos Papadopoulos 2017

CONTDそれは有限の地平線でかなり簡単です、そして、いつものように、地平線が「不定」になるとき、それは少し直感的で自明ではなくなります。

— Alecos Papadopoulos 2017

回答:

有限の地平線の問題から始めると、横断性の条件はより簡単に理解できます。

標準バージョンでは、我々の目的は、でありを受け

\underset{{c_{t} 、 k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}}{最高} Σ_{t = 0}^{T} β^{t} あなた （ c_{t} ）

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

と

与えられました。（乗算器と関連するラグランジュ

、

、および

）であり、

\begin{aligned} f （ k_{t} ） - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0 、 t = 0 、 \dots 、 T & （リソース/予算制約） \\ c_{t} 、 k_{t + 1} & \geq 0 、 t = 0 、 \dots 、 T & （非負性制約） \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

FOCSは、

\underset{{c_{t} 、 k_{t + 1} 、 λ_{t} 、 μ_{t} 、 ω_{t}}_{t = 0}^{T}}{最高} Σ_{t = 0}^{T} β^{t} あなた （ c_{t} ） + λ_{t} （ f （ k_{t} ） - c_{t} - k_{t + 1} ） + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

のために：キューン・タッカー相補スラック条件に

、

\begin{aligned} c_{t} ： & β^{t} {あなた}^{』} （ c_{t} ） - λ_{t} + μ_{t} & = 0 、 t = 0 、 \dots 、 T \\ k_{t + 1} ： & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{』} （ k_{t + 1} ） + ω_{t} & = 0 、 t = 0 、 \dots 、 T - 1 \\ （1） & k_{T + 1} ： & - λ_{T} + ω_{T} & = 0 、 T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

リソース制約が全ての期間で結合されなければならないので、すなわち

のすべてのために

、それは次の最後の周期において

、

順番に意味、

。

\begin{aligned} λ_{t} （ f （ k_{t} ） - c_{t} - k_{t + 1} ） & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ （2） & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

$c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} （3） & β^{t} {あなた}^{』} （ c_{t} ） = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

$(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} {あなた}^{』} （ c_{T} ） k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

\underset{T \to \infty}{リム} β^{T} {あなた}^{』} （ c_{T} ） k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

横断性の条件の直観は、一部には「最後の期間には貯蓄がない」ということです。しかし、無限の地平線の環境には「最後の期間」がないので、時間が無限大になると、私たちは限界を取ります。

— Kさん
ソース

私の意見では、最良の派生は論理によるものです。このように考えてください。世帯にその効用を最大化することだけを伝えている場合、最適な行動は無限の借金をし、無限に消費することです。これは賢明な解決策ではありません。したがって、別の最適化条件が必要です。これは質問2に答えるはずです。

有限期間の設定では、最終期間までに返済しなければならない負債によって実現可能性が達成されます。これは、無限の地平線設定では不可能です。しかし、「借金の蓄積を排除する」ことは、あなたが提案するように、条件が厳しすぎる（横断性条件が借金を可能にする！）。

$\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

質問1に：この条件を導き出すには、先ほど作成した論理的な引数を作成して、横断条件がなければ、資本パスは最適ではないことを示すか、または数学的な証明として、たとえば、クルーセルのノートによる（把握するのはかなり難しいですが）

— クリスネクタイ
ソース