動的最適化

2

単純で動的な消費節約の問題を考えてみましょう。解は、一次条件と境界条件のセットを生成するラグランジアンアプローチを使用して特徴付けることができます。

別のアプローチは、ベルマン方程式を使用して設定することです。私が理解していないのは、どのようにしてベルマン方程式アプローチがソリューション方法論の境界条件に関する情報を使用しないように見えるのですか？つまり、ベルマン方程式には期間tとt + 1の間でトレードオフがありますが、全体的な予算の制約は表されていないようです。

dynamic-optimization

— エコノバン
ソース

1

lim_{t \to \infty}

$\lim\limits_{t \to \infty}$

上記と同じ質問。無限期間モデルでは、自明でない解決策が必要な場合、横断条件が望ましいです。あなた（質問者）がそれらの条件があると仮定するなら、私は問題が何であるかわかりません。

— キツネ騎兵隊

5

動的計画法（ "ベルマン方程式"）の定式化には、ラグランジュ/オイラー方程式の定式化を使用する場合に必要な末端境界条件（ "横断条件"）が組み込まれています。両方のアプローチで初期条件が依然として必要です。

理由を確認するには、問題を検討してください

{max}_{{x_{t}}} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} U (c_{t})

$\text{max}_{\{x_t\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t)$

s . t . a_{t + 1} = (1 - r) a_{t} + w - c_{t}, a_{0} given

$s.t.\;\;\; a_{t+1}= (1-r)a_t + w - c_t, \;\;\; a_0 \; \text{given}$

の予算制約を解いて目的関数に挿入すると、コンパクトになります。 $c_t$

{max}_{{a_{t}}} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} U (a_{t}, a_{t + 1}), a_{0} given

$\text{max}_{\{a_{t}\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(a_t, a_{t+1}),\;\;\;\; a_0 \; \text{given}$

次の期間のストック変数を決定変数として扱います。最適なシーケンスを得るには、が次の問題を解決する必要があります。 $a^*_{t+1}$

max_{y} [U (a_{t}^{*}, y) + β U (y, a_{t + 2}^{*})], y feasible given a_{t}^{*}

$\max_y \big[U(a^*_t, y) + \beta U(y, a^*_{t+2})\big],\;\;\; y\;\; \text{feasible given}\;\; a^*_t$

StokeyとLucasの言葉では、「シーケンス実行可能なバリエーションは、最適なポリシーの改善につながることはできません」 $\{a^*_t\}$ 。

次に、一次条件を取得します（本質的にに関して微分します） $y$

U_{2} (a_{t}^{*}, a_{t + 1}^{*}) + β U_{1} (a_{t + 1}^{*}, a_{t + 2}^{*}) = 0

$U_2(a^*_t, a^*_{t+1}) + \beta U_1(a^*_{t+1}, a^*_{t+2}) =0$

ここで、添え字は偏微分を示します。これは2次差分方程式であるため、2つの境界条件が必要です。すでにそれらのうちの1つである、与えられた初期値ます。もう1つ、つまりターミナルの「横断性」条件が必要です。 $1,2$ $a_0$

対照的に、動的計画法アプローチを使用すると、1次差分方程式に到達し、追加の境界条件は必要ありません。

完全な説明については、Stokey＆Lucas p。97-100。

— アレコスパパドプロス
ソース

2

一般的に、あなたの闘争がどこにあるのか正確にはわかりません。あなたの問題を解決しようとするために、動的問題ではどのような境界条件が望ましいでしょうか？

私たちが持っている2つの期間の消費節約問題を考えてください

c_{1} + s_{1} = y_{1}

$c_1 + s_1 = y_1$

c_{2} = y_{2} + (1 + R) s_{1}

$c_2 = y_2 + (1+R)s_1$

$y_1, y_2$ は各期間の寄付、は貯蓄、は利息、は消費です。いくつかの与えられた場合、各期間での最適な消費を解決する必要があります。予算を次のように統合できます。 $s_1$ $R$ $c_1, c_2$ $U(c_1, c_2)$

c_{2} = y_{2} + (1 + R) (y_{1} - c_{1})

$c_2 = y_2 + (1 + R)(y_1 - c_1)$

⟹ c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} = y_{1} + \frac{y_{2}}{1 + R}

$\implies c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R}$

ラグランジュ問題を表現する：

L = U (c_{1}, c_{2}) - λ (c_{1} - \frac{c_{2}}{1 + R} - y_{1} - \frac{y_{2}}{1 + R})

$\mathcal{L} = U(c_1, c_2) - \lambda(c_1 - \frac{c_2}{1 + R} - y_1 - \frac{y_2}{1 + R})$

FOCを解決すると、次のことがわかります。

U_{c_{1}} - λ = 0

$U_{c_1} - \lambda = 0$

{うん}_{c_{2}} - \frac{λ}{1 + R} = 0

$U_{c_2} - \frac{\lambda}{1 + R} = 0$

⟹ \frac{{うん}_{c_{1}}}{{うん}_{c_{2}}} = 1 + R

$\implies \frac{U_{c_1}}{U_{c_2}} = 1 + R$

しかし、この問題をベルマンとして表現し、元の統合予算の制約を維持することもできます。

\underset{c_{1} 、 c_{2} 、 y_{1} 、 y_{2}}{最大} うん （ c_{1} 、 c_{2} ） st c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} = y_{1} + \frac{y_{2}}{1 + R}

$\max_{c_1, c_2, y_1, y_2} U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R}$

値関数がある場合（はい、はまだ与えられます） $y_1$ $y_1$

V （ y_{1} ） = \underset{c_{1} 、 c_{2} 、 y_{2}}{最大} うん （ c_{1} 、 c_{2} ） st y_{1} = c_{1} + \frac{c_{2}}{1 + R} - \frac{y_{2}}{1 + R}

$V(y_1) = \max_{c_1, c_2, y_2} \ U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ y_1 = c_1 + \frac{c_2}{1 + R} - \frac{y_2}{1 + R}$

この問題をベルマンにとってささいなものにするために、代わりに何らかの方法で決定する制約を設定できます。しかし、それ以外の場合は、かなり奇妙に見えるかもしれませんが、予算の制約をここで問題に組み込むことができます。 $c$ $y$

— きつね騎兵隊
ソース