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確率的ペアワイズスワップからランダム順列を生成する最も効率的な方法は何ですか？
私が興味を持っている質問は、ランダムな順列の生成に関するものです。基本的な構成要素として確率的なペアワイズスワップゲートを考えると、要素の一様にランダムな順列を生成する最も効率的な方法は何ですか？ここでは、「確率的ペアワイズスワップゲート」を、各ゲートに対して自由に選択できる確率で選択された要素と間でスワップゲートを実装し、それ以外の場合はアイデンティティを実行する操作とします。nnniiijjjppp これは通常、ランダム順列を生成する方法ではないことを理解しています。通常、Fisher-Yatesシャッフルのようなものを使用する可能性がありますが、許可された操作が異なるため、これは私が念頭に置いているアプリケーションでは機能しません。 明らかにこれを行うことができます、問題はどれくらい効率的かです。この目標を達成するために必要な確率的スワップの最小数は何ですか？ 更新： Anthony Leverrierは、ゲートを使用して正しい分布を実際に生成する以下のメソッドを提供します。伊藤剛は、コメントで同じスケーリングを使用する別のアプローチを提供します。ただし、これまでに見た中で最も良い下限は、これはとしてスケーリングされ。だから、問題はまだ開いたままです：ができる最善のことです（つまり、より良い下限がありますか？）または、より効率的な回路ファミリはありますか？O(n2)O(n2)O(n^2)⌈log2(n!)⌉⌈log2(n!)⌉\lceil \log_2(n!) \rceilO(nlogn)O(nlogn)O(n\log n)O(n2)O(n2)O(n^2) 更新： いくつかの回答とコメントは、確率が固定されている確率的スワップのみで構成される回路を提案しています。このような回路では、次の理由でこの問題を解決できません（コメントから解除）。1212\frac{1}{2} そのようなゲートを使用する回路を想像してください。次に、確率の計算パスが存在するため、順列は整数kに対して確率で発生する必要があります。ただし、均一な分布の場合、が必要これは書き換えることができます。これは明らかにの整数値のために満たすことができないのためいるので、（場合、ただし。mmm2m2m2^mk2−mk2−mk 2^{−m}k2−m=1n!k2−m=1n!k 2^{−m}=\frac{1}{n!}kn!=2mkn!=2mk n! = 2^mkkkn≥3n≥3n\geq33|n!3|n!3|n!n≥3n≥3n\geq 33∤2m3∤2m3\nmid 2^m 更新（賞金を提供しているmjqxxxxから）： 提供される賞金は、（1）ゲートが必要であることの証明、または（2）ゲート未満を使用する動作回路です。ω(nlogn)ω(nlogn)\omega(n \log n)nnnn(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2