-calculusを代数と呼ぶ意味は何ですか？

-calculusを計算ではなく代数と呼ぶことの違いは何ですか？「 -calculusは微積分ではなく代数」という行（iirc、Dana Scottによる）をどこかで読んだので、この質問を提起します。ポイントは？ありがとう。$\lambda$$\lambda$

微積分は、シンボリック式の操作に基づいた計算システムです。代数は、シンボリック式とそれらの間の関係のシステムです[*]。つまり、微積分は答えを理解するためのシステムであり、代数は用語間の関係を表現する方法です。

-calculusあなたが考えるにしたいかに応じて、微積分や代数のいずれかであると指向の削減ルールや無配向の方程式としてのルール。ルールが方向付けられていると考えると、評価順序が修正され、ルールは用語を取得して通常の形式を生成する方法を示します。ルールが無指向であると考えると、それらは -termsの等式関係を与えます。β η $\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*]代数のカテゴリ定義もあります。これは、非公式のアイデアよりも多少制限のある正式な定義です。大雑把に言えば、違いは、代数の形式的な定義が、変数バインディングのないシステムだけを含むことです。したがって、SKIコンビネータは代数を形成しますが、 -calculusは代数を形成しません。$\lambda$

従来、代数とは、いくつかの方程式を満たす演算を含むキャリアセットです（「グループ」と考えてください）。概念を一般化できる多くの方法があります。

• マルチソートされた代数には複数のキャリアセットがあります。例として、リング上のモジュールがあります。ここでは、全体を単一の代数と見なします。もう1つのかなりばかげた例は、2つのキャリアセット、エッジのと頂点の、および2つの操作sourceとtarget持ち、方程式を満たさない有向グラフです。R E V s ：E → V E → $M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• 単なる方程式ではない、より一般的な公理が許可される場合があります。たとえば、フィールドの公理は、を除くすべての方程式です。別の例は、積分ドメインのようなものです。$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• より一般的な操作、特に無限アリティの操作、または関数を引数としてとる高次の操作が許可される場合があります。infinitary動作の例は、における中点代数マーティンEscardoとAlexシンプソンの。この方向に遠く行くと、モナドに到着します。$M$

この意味で、型付けされていない -calculusは代数です。これは、いくつかの方程式（および）を満たすいくつかの（高次の）演算でキャリアセットに関して指定されるためです。β $\lambda$$\beta$$\eta$

カテゴリ理論における代数の定義は非常に正確です。たとえば、この記事を参照してください。数学およびコンピューターサイエンスで一般的に使用される代数構造という用語と同じコンテキストで、バインドされた変数を持つ構造をどのように理解できるかを理解するのに数年かかり、F代数のカテゴリ概念は、二。ソリューションの歴史的側面についてはよくわかりませんが、考えられるアプローチの1つは、Fiore、Plotkin、およびTuri（こちらから入手可能）によって導入されたプレシーフ代数です。と彼の博士課程の学生ジュリアンナ・ジド。

通常、 -calculiおよび関連する構造。$\lambda$

「計算」の概念は「代数」の概念ほど明確に定義されていないのは事実ですが、一般に「計算」は一般に計算プロセスを意味しますが、代数には等式理論の構築パターンがあります。
代数は構造として「すでに存在する」という感覚があり、以前は存在しなかった新しい答えを生成する何らかの方法を使用するのではなく、単にそれらについての真実を明らかにしているだけです。

スコットがスコットドメインで何を達成しようとしていたかを考えると、彼のステートメントは理にかなっています。彼は、LCの固定セマンティクスとして役立つ定義済みの数学および代数構造を見つけようとしていました。彼は、用語の意味が特定のプロセスから出てきたものであるという感覚をなくしたかった。

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ラムダ計算を非常に単純な理由で「代数」と呼ぶのは非常に気が進まないでしょう。これは、意味をまったく参照せずに、構文のみを使用して定義された正式なシステムです。同等のとはメタレベルであり、やような変数が用語全体にわたって使用されます。それは代数学者が「代数」と呼ぶものではありません。一方、論理学者は長い間「計算」という用語を使用して、ルールがメタレベルで表現される形式的なシステムを意味していました。η M $\beta$$\eta$$M$$N$

スコットはこれまで「代数」（I、むしろ疑い）微積分コールラムダをした場合は、その後、彼はかなり微妙なポイント、作っているでしょうすなわちを。、あなたがいることができたとして、ラムダ計算を考える先験的な意味を。

それでも、彼は彼の主張の代数論者を納得させるのに苦労するでしょう。なぜなら、彼はラムダ計算の方程式を持っていないので、彼は同等性を持っているからです。一方、「組み合わせ代数」は完全に正常です。

微積分のようなものはありませんが、代数と呼ばれる明確に定義された数学的なオブジェクトがありますが、この単語には多くの用途があります。しかし、私の推測は、名前がの意味で与えられたということです

（...）数値システムとその内部の操作の抽象的な研究。

以来、中 -calculus、あなたは（オブジェクト定義用語を呼び出すことが、数字をそれらのオブジェクト内）と操作を。$\lambda$