セット最適化問題-それはnp完全ですか？

セット $S=\{e_1,\cdots,e_n\}$ が与えられます。各要素について $e_i$ 、重み $w_i>0$ とコスト $c_i>0$ ます。目標は、サブセットの発見である $M$ サイズの $k$ ：次の目的関数を最大化

\sum_{e_{i} \in M} w_{i} + \frac{\sum_{e_{i} \notin M} w_{i} c_{i}}{\sum_{e_{i} \notin M} c_{i}}

$\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}$ 。

問題はNP困難ですか？

目的関数は奇妙に見えるので、目的関数の適用を説明するのに役立ちます。

n個のアイテム $e_1$ から $e_n$ があり、各オブジェクト $c_i$ コピーが在庫にあるとします。私たちの顧客は何人かいて、それらのオブジェクトに彼らの重みに比例して興味があります。つまり、より大きな持つオブジェクトがより人気があります。私たちはオンライン販売システムを持っており、顧客の要求に正しく答える必要があります。形状ではオブジェクトを認識できません（それらはすべて同じに見えます！）。しかし、それらを見つけるための分類子があります。各分類子は、オブジェクトのコピーを検出するために使用できます。私たちはお客様の満足度を最大化するためにk分類器を実行することを目指しています。 $e_i$ $w_i$ $w_i$

PS：それは場合を考えるために有用であり得ることをすべてについて。しかし、私にはわかりません。[ 私はこれについて間違っていました！この仮定によりPに含まれます ] $w_i c_i=p$ $i\leq n$

np-hardness optimization

— なすお
ソース

正しい項は、Mにない要素の最大の重み以下です。そのため、大きな重みを持つ要素がある場合は、無駄にせずに、Mに置くことをお勧めします。したがって、Mはkの最大の重みを持つ要素で構成される必要があります。正しい？

— ゾタチジル

コストも重要なので、それは正しくありません。次の例を考えてみましょう：

— Nasooh

w1 = 50、c1 = 80-w2 = 40、c2 = 15-w3 = 10、c3 = 5。kが1の場合、e2よりもe1を選択する方が効果的です。

— Nasooh 2012年

あなたが正しい。うーん...

— ゾタチジル

動機を説明していただきありがとうございます。残念ながら、あなたの説明と質問の目的関数との関係はまだ完全に不明ですが、質問を妥当な長さに保つためには、現在の説明に満足する必要があると思います。

— 伊藤剛

回答:

以下の答えは、問題の特別なケースが多項式時間で解けることを示しています。これは投稿の質問に完全に答えるものではありませんが、NP硬度の証明に何が必要かについて洞察を与え、投稿へのさらなる関心を引き起こす可能性があります...

$c_i$ $n$ $D = \sum_i c_i$

$(S, w, c, K)$ $w,c\in\mathbb{R}_+^n$ $S=\{1,2,\ldots,n\}$ $M\subseteq S$ $K$ $\frac{\sum_{i\in M} w_i c_i}{\sum_{i\in M} c_i} - \sum_{i\in M} w_i$

$(d_1, d_2, k, m)$ $0\le d_1 \le d_2 \le D$ $0\le k \le K$ $k\le m\le n$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\sum_{i \in M} w_{i} (c_{i} / d_{1} - 1) : M \subseteq [m], | M | = k, \sum_{i \in M} c_{i} = d_{2}} .

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max \Big\{ \sum_{i\in M} w_i (c_i / d_1 - 1) ~:~ M \subseteq [m],\, |M| = k, \, \sum_{i\in M} c_i = d_2\Big\}.$

max_{d} ϕ (d, d, K, n)

$\max_d \phi(d, d, K, n)$

以下のための可能な解決策のパーティション含むものにし、そうでないもの、我々は再発得る境界ケースは演習として残します。 $\phi(d_1, d_2, k, m)$ $m$

ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m) = max {\begin{cases} ϕ (d_{1}, d_{2} - c_{m}, k - 1, m - 1) + w_{m} (c_{m} / d_{1} - 1) \\ ϕ (d_{1}, d_{2}, k, m - 1) . \end{cases}

$\textstyle\phi(d_1, d_2, k, m) = \max\begin{cases} \phi(d_1, d_2 - c_m, k-1,m-1) + w_m(c_m/d_1-1) \\ \phi(d_1, d_2, k, m-1). \end{cases}$

副問題の数はであり、それぞれの反復の右側は一定の時間で評価できるため、アルゴリズムはおよび時間多項式で実行されます。 $O(n^2 D^2)$ $n$ $D$ $~~\Box$

当然です。 P = NPでない限り、NP硬度を示すすべての削減は、が多項式ではないインスタンスに削減されます。 $D$ $n$

リマーク。私が間違っていない限り、動的プログラミングを使用してを丸めることに基づいて、投稿に問題のPTASもあります。ただし、投稿で質問されているように、PTASの存在は、問題がNP困難であるかどうかには直接関係しません。 $w_i$

私も興味があります---（ごと）の特別な場合にポリタイムアルゴリズムがあるかどうか誰かが知っていますか？（編集：それはそうです、ウィラード・ザーンのコメントによると、これはに最大要素を含めることによって最適化されるようです。） $w_i=c_i$ $i$ $M$ $k$

— ニール・ヤング
ソース

場合は、最小化と同じではありません。これは、が最大の構成される場合に最適化されます？

w_{i} = c_{i}

$w_i=c_i$

(\sum_{i \neq j \notin M} w_{i} w_{j}) / (\sum_{i \notin M} w_{i})

$(\sum_{i\neq j\notin M}w_iw_j)/(\sum_{i\notin M} w_i)$

M

$M$

w_{i}

$w_i$

— ウィラード

@WillardZhan、はい、そうです。

— ニールヤング

-6

あなたは制限なしで関数の最大化について尋ねていますか？

とても簡単です。Mが最大のセットである場合、それが最良のソリューションです。何も計算する必要はありません。

この問題は、ところでNPであるナップザック問題に似ています。

— ギジェルモ。
ソース

問題は、「サイズkのサブセットM」です。

— 伊藤剛