弱い代数準同型のようなものはありますか？

所与endofunctor 、我々は任意のために多型である関数として観測関数を定義することができるある-coalgebra、いずれかのために定義されている -coalgebra 。観測関数を見るもう1つの方法は、最終関数 $F : Set \rightarrow Set$ $F$ $obs$ $F$ $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to B

$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$

代数が存在する場合。最終的な

代数への一意の準同型を持つ観測関数を構成することにより、多型を自動的に取得します。しかし、これは最終的な

代数が存在する場合にのみ機能します。

F

$F$

F

$F$

F

$F$

観測関数の定義特性の1つは、その多型のために、右側に構成されたすべての代数準同型をキャンセルすることです。場合はある後、-coalgebra準同型、：私の研究の間に、1余代数と他の間での観測の一貫性の概念を定義する試みでは、私がAの考えを持っていました弱い合同準同型。事前に観測関数を知っていれば、代数準同型を「偽造」できるという考え方です。したがって、満たすことができます。 $hom$ $F$

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

だけのための1つの特定の

。

o b s = o b s \circ h o m

$obs = obs \circ hom$

o b s

$obs$

例えば、聞かせて、およびlet として定義され $FX = \{0,1\} \times X$ $obs$

o b s : \forall ⟨ A, c ⟩ . A \to {0, 1}^{2}

$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$

つまり、

はストリームの最初の2つの要素を取ります。

o b s = ⟨ (π_{1} \circ c), (π_{1} \circ c \circ π_{2} \circ c) ⟩

$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$

o b s

$obs$

次に、F代数準同型は、ストリームのすべての要素を保存することを保証する必要がありますが、弱い準同型は、ストリームの最初の2つの要素のみを保存する必要があります。 $obs$

私の研究では、この概念は、すべての有限線形観測関数が最初の代数から2番目の代数まで弱い準同型であることを示すことにより、ある代数が別の代数と観測的に一貫していることを示すのに役立ちます。言い換えれば、最初の代数でのすべての有限線形観測は、2番目の代数で再現できます。

（線形観測関数が意味することは、ほとんど無関係ですが、共有するために...線形観測関数は、キャリアセットの各状態を1回だけ使用するものです。オラクルをモデル化しようとしています。また、ユーザーが戻って質問したことのないふりをすることはできません。

したがって、私の質問は次のとおりです。

これは研究されましたか？「弱い合同代数」は、おそらく他の名前ですでに存在していますか？
これを提示するためのより「カテゴリー理論」の方法はありますか？

編集：それほど重要ではない2つの質問を削除しました。

ct.category-theory

— フランシスコ・モタ
ソース

コンピューターサイエンスのQ＆Aサイトがこの質問に適していると考える理由はありますか？

— サショニコロフ

はい。

代数にはコンピューターサイエンスの用途があり、コンピューターサイエンスの研究中にこの疑問が浮上しました。また、cstheory.stackexchangeの

-coalgebrasに関する他の質問があります。

F

$F$

F

$F$

— フランシスコモタ

コンピュータサイエンスへの応用例として、区別できないという概念（暗号化で使用される場合があります）は、弱い準同型に関して定義できる場合があります。

— フランシスコモタ

これが行われ、何かを証明するために使用された参考文献を見てみたいです。

— サショニコロフ

この記事：citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571 は、上記の「弱い準同型」の考え方と非常に似ているようです。しかし、定義はわずかに異なり、実際に一致するかどうかはわかりません。これは、観察者定義

私はまだ理解していない、それはのために弱い準同型定義

間

と

関数として

ように、

O

$O$

O

$O$

⟨ A, α ⟩

$\langle A, \alpha \rangle$

⟨ B, β ⟩

$\langle B, \beta \rangle$

f : A \to B

$f: A \to B$

しかし、

意味はまだわかりません。

β^{O} \circ f = O (f) \circ α^{O}

$\beta^O \circ f = O(f) \circ \alpha^O$

O

$O$

— フランシスコモタ

回答:

あなたが説明する「弱いモルフィズム」は、少し制限された設定で名前を持っています。私が説明するように、それらは非常に一般的に定義することもできます。

場合にはジャム弱いプルバック（上の多くの天然ファンクタ、それが知られている行う）coalgebraic双模倣と行動等価一致します。それから、あなたの射は、が序数である、機能的なステップバイシミュレーションとして知られています。確かに私は今まで彼らが序のために定義されて見てきた $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $\mathsf{Set}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha \leq \omega$ 。代数の前に、モード論理学者はKripkeフレームのnステップの双シミュレーションを研究していました。関係ではなく関数であるというあなたの要件は、それらを機能的な n段階バイシミュレーションにします。

一方、あなたが話している概念は、より一般的な設定で、代数的二刺激を参照することなく定義できます。順序付けされたコチェーンとファンクター制限があるカテゴリー場合、の末端シーケンスを定義できます。制限に関する条件は、実際にはかなり弱いです。たとえば、多くのカテゴリ（を含む）が実際に完了しています。つまり、すべての小さな制限があります。端末シーケンスは図であり、次のようになります。 $\mathbb{C}$ $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $T$ $\mathsf{Set}$ $\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

ここで、はの端末オブジェクトです（空のコチェーンの制限）。たとえば、これを1つの要素セットことができます。地図は端末オブジェクトへの一意の射であり、たとえばではすべての要素を単純にマップし。各反復によって計算されるおよび $1$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{Set}$ $1 = \{*\}$ $!_{T1} : T1 \to 1$ $\mathsf{Set}$ $T1$ $*$ $T^n 1$ $T$ $T^\omega 1$ $\omega$ $T^\alpha 1$ $\alpha$

$T$ $(Z,\gamma)$ $\mathbb{C}$ $\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$ $\alpha$ $\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

直感的に、これらのマップは状態をその動作に送信します。これで、あなたが話していることを説明できます。2つの代数およびます。次に、モーフィズム場合に動作を保持します。 $Z$ $\alpha$ $T$ $(A,\gamma)$ $(B,\delta)$ $\mathbb{C}$ $f : A \to B$ $\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$ $f(z)$ $\delta$ $\alpha$ $z$ $\gamma$

とにかく、これが役に立つことを願っています。「ターミナルシーケンスの代数」または「最終シーケンスの代数」をグーグルで検索すると、さまざまなリファレンスを見つけることができます。

— ロブ
ソース

α

$\alpha$

o b s : T^{α} 1 \to B

$\mathsf{obs}:T^\alpha 1 \to B$

o b s \circ {b e h}_{δ}^{α} \circ f = o b s \circ {b e h}_{γ}^{α}

$\mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{obs} \circ \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

z

$z$

f (z)

$f(z)$

z^{'}

$z'$

f (z^{'})

$f(z')$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β \leq α

$\beta \leq \alpha$

{b e h}_{γ}^{ω}

$\mathsf{beh}_\gamma^\omega$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega+1}$

ω

$\omega$

2 \times I d : S e t \to S e t

$2 \times Id : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$

{b e h}_{γ}^{ω + 1}

$\mathsf{beh}_\gamma^{\omega + 1}$

α

$\alpha$

X \mapsto (2 \times X)^{2}

$X \mapsto (2 \times X)^2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

原則として、概念に何らかの普遍性がない限り、弱い、規則的な、通常のような過度に過剰な用語を避けるべきです。特に、矢印の反転後の弱い準同型の通常の概念とあなたの概念が一致していないようです。

あなたが普遍的でない何かをするときはいつでも、より記述的な用語が常にあります。

観測関数の概念は、すでにカテゴリ理論上のプレゼンテーションを提供しています。可能な限り最も一般的なものを探すのではなく、それが何を意味するのか、なぜそれが面白いのかを明確にすることをもっと心配します。特に、印刷で珍しい概念を導入するときは、通常、有益な例と非例を与える必要があります。

— ジェフ・バージス
ソース

答えてくれてありがとう。より具体的な名前を使用することをお勧めします。Jan Rotheによる弱いバイシミュレーションに関する論文（citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.11.7571）を読んで、それらが上記の定義とどのように関連しているかを判断するつもりです。時期尚早）彼らは異なっていると確信した。もう一度、ありがとう。

— フランシスコモタ