無限に大きいが局所的に有限な計算問題

この質問は、ユッカスオメラが別の質問に対して行ったコメントに触発されたものです。

無限に大きいが局所的に有限な計算問題（およびアルゴリズム）の例は何ですか？

言い換えると、各チューリングマシンが有限のデータのみを読み取り、処理するが、無限に多数のチューリングマシンがネットワークに接続されている場合、計算は完全に無限サイズの問題を解決する、有限時間で停止する計算の例は何ですか？

可能性のある（ただしやや自明でない）アイデアを示すために、1つの例を示します。有界次数グラフで最大のエッジパッキングを見つける分散アルゴリズムです。

問題定義

簡単所与グラフ無向、エッジパッキング（または分別マッチング）は重量を関連付けるwは（E ）各エッジとE ∈ Eは、各ノードのためのそのV ∈ V、にエッジ入射の総重量vは最大1です。入射エッジの総重みが1に等しい場合、ノードは飽和します。すべてのエッジに少なくとも1つの飽和エンドポイントがある場合、エッジパッキングは最大になります（つまり、どの重みも貪欲に拡張できない）。$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

最大マッチングことを観察（セット梱包最大エッジを定義W （E ）= 1 IFF E ∈ Mを）したがって、古典的な集中化された設定で解決するのは簡単です（Gが有限であると仮定）。$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

少なくとも通常のTCSの意味でアプリケーションを定義する場合、エッジパッキングには実際にいくつかのアプリケーションがあります：飽和ノードのセットは、最小頂点カバーの近似を形成します（もちろん、これは有限Gの場合にのみ意味があります） 。$2$$G$

計算のモデル

私たちは、グローバル定数の存在であることを前提としていますどの程度あるようvは∈ Vが最大ですΔ。$\Delta$$v \in V$$\Delta$

これを元の質問の精神に近づけるために、計算のモデルを次のように定義します。我々は、各ノードと仮定チューリングマシンであり、エッジ{ uは、V } ∈ Eは間の通信チャネルであり、UおよびV。入力テープVは度コード度（V ）のVを。毎V ∈ Vに入射エッジV整数で（任意の順序で）標識されている1 、2 、$v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; これらが呼び出された局所的なエッジのラベル（のラベル { U 、Vは} ∈ Eは、のために異なっていてもよい Uおよび V）。マシンには、これらの各エッジを介してメッセージを送受信できる命令があります。マシンは、ローカルエッジラベルを使用して、隣接するアドレスを指定できます。$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

マシンがGの有効なエッジパッキングを計算する必要があります。より正確には、各V ∈ Vは、その出力テープ上のエンコーディング印刷しなければならないW （E ）各エッジのためのEに入射V局所エッジラベルによって順序付けをし、その後停止します。$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

我々は分散アルゴリズムと言う時間内に最大のエッジ梱包見つけTを、次のいずれかのグラフの保持している場合、G最大度のΔ、および任意のローカルエッジ標識のためにG：私たちは、それぞれのノード交換する場合はGを同一のコピーでチューリングマシンAを起動し、マシンを起動します。その後、Tステップの後、すべてのマシンが有効な（グローバルに一貫した）ソリューションを出力し、停止しました。$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

無限大

ノードのセットが数え切れないほど無限であっても、上記のすべてが完全に理にかなっています。$V$

問題の定式化と計算のモデルには、への参照がありません。V | 、直接的または間接的に。各チューリングマシンの入力の長さは、定数によって制限されます。$|V|$

知られていること

が無限であっても、問題は有限時間で解決できます。$G$

問題は、何らかのコミュニケーションが必要であるという意味で重要です。さらに、実行時間は依存します。ただし、固定されたΔについては、Gのサイズに関係なく、一定の時間で問題を解決できます。特に、問題は無限に大きいグラフで解決可能です。$\Delta$$\Delta$$G$

上記で定義されたモデル（フィールドで使用される通常のモデルではありません）で最もよく知られている実行時間を確認していません。それでも、多項式である実行時間はかなり簡単に達成できるはずであり、Δで準線形の実行時間は不可能だと思います。$\Delta$$\Delta$

セルラーオートマトンの次世代を見つけます。

これは、一定の時間で説明したように解決できます。 $\;$ （つまり、入力とは無関係）

基本的に、少なくともカラーリングと同じくらい難しい問題はすべて、ネットワーク内のノードの数に依存する実行時間のアルゴリズムを必要とするため、無限ではあるが局所的に有限のグラフでは機能しません。これは、Linialの独創的なlog * n下限に基づいています。

$AC^0$$AC^0$