「無向」バリアントよりも簡単な「有向」問題。

私はパンケーキの選別に関する講義を行っていて、次のように言及していました。

• 反転によるソートはNP困難です
• 反転による「署名付き」ソートはPにあります。

それは私に考えさせられました。「符号付き」ソートは「指示された」という意味があります-符号を方向として見ることができます（実際、これは進化生物学からの動機です）。しかし、それは簡単な問題です！一般に（少なくともグラフ上では）有向の問題は無向の対応問題よりも難しい（または少なくとも同じくらい難しい）ため、これは異常です。

「有向」の寛大な定義を仮定すると、無向の対応よりも簡単な有向問題の例はありますか？

有向グラフのためのオイラー回路を数えること使って多項式時間でなんとかですBEST定理を明らかにしながら、無向グラフの同じ問題が＃P-完了です。

おもしろくてあまり知られていないケースは次のとおりです。エッジ重み付きグラフとルートノードrがあるとします。rからグラフ内のすべてのノードまでのk個のエッジ素なパスがあるように、Gの最小コストのサブグラフが必要です。場合、これは有向グラフおよび無向グラフの最小コストの樹木問題です。これはMST問題と同等です。どちらもポリタイムで解決可能ですが、無向の場合の方が簡単です。ただし、問題は任意の有向グラフではポリタイムで解くことができますが、無向グラフではNP-Hardです（最小コスト$G$$r$$G$$k$$r$$k=1$$k$$k=2$$2$-エッジ接続サブグラフ問題）。

たぶんこれは最良の例ではありませんが、（有向）サイクルカバーを検討してください。タスクは、頂点が互いに素な（有向）サイクルですべての頂点をカバーすることです。有向の場合、これを二部マッチングに減らし、多項式時間で解くことができます。無向の場合、問題は非二者間マッチング（およびその逆）に縮小できます。これはより難しい問題ですが、多項式時間で解決可能です。

私が最近気づいたように、無向グラフの方が有向グラフよりも実際に見えにくい問題があります。

$m\sqrt{n}\log C$$m$$n$$C$$n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$$n^3, mn\log n$