隣接関係が繰り返されないエントリを持つ正方形

我々が持っていると仮定しの正方形、およびアルファベットΓを。私たちは、の要素入れΓを正方形の各場所で。要素は複数の場所に表示できます。制約は、近隣のペアa 、b（お互いの東西、またはお互いの南北）がその構成で一度しか出現できないことです。$n \times n$$\Gamma$$\Gamma$$a,b$

禁止されている正方形の例：

abc
def
gde

「de」は2行目と3行目の両方に表示されるため、正方形のエントリは受け入れられません。たとえば、左上隅を除いて、dの上にaが表示された場合も同じ問題が発生します。

与えられたのパラメータとして、四角形の幅、低アルファベットのサイズに何をバインドされていますかΓ？$n$$\Gamma$

私は直接証明を（に向けて）提案したいのですが、このタイプの正方形の塗りつぶしの問題も研究されていますか？ラテン語の正方形にもブロックデザインにも接続できません。これは、すでに名前が付けられている組み合わせオブジェクトにマッピングされますか？

（注：これは、部分的な単語の回避に関する私の以前の質問に関連していますが、その質問は、いわば東西の回避を必要とするだけでしたが、ここでは、南北の繰り返しも避ける必要があります。）

私のコメントの拡張バージョン：

ましょう素数で。次に、pを法とする整数の乗算表からn × nの正方形を作成できます。たとえば、p = 5の場合、$p = n+1$$n \times n$$p$$p = 5$

1234
2413
3142
4321

これで、各ペアとa ≠ bが1回だけ発生します。同様に、a -above- bとa ≠ bの各ペアは 1回だけ発生します。$ab$$a \ne b$$a$$b$$a \ne b$

$n$$n \times n$

$n \times n$$n(n-1)$$n-1$$(n-1)^2 < n(n-1)$

追加のために編集：ギルバートの論文は歴史的に重要であることが判明し、それは私の質問で尋ねた問題を完全に解決します。詳細については、私のブログエントリを参照してください。

元の答え

私が1965年に見つけた論文、繰り返しのダイグラムを含まないギルバートのラテン方格は非常に役立つことがわかりました。

$n$$n$$|\Gamma| \leq n+1$$n+1$

$3-1 \neq 2-3$$2-1 = 3-2$

$ab$$a \lozenge^k b$$\lozenge$$k$$n-2$$k$$a \lozenge^k b$$n+1=p$$p$

$n$$n$$x \geq 396738$$[x,x+ x/25 \ln^2 x]$$n$$|\Gamma| \leq n + n/25\ln^2 n$