「ツリーグラフ」の最小次数

グラフ与えられた場合、ツリーグラフを頂点がの全域木であるグラフとして定義します。1つのエッジを置き換えることによって一方から他方を取得できる場合、2つのツリーの間にエッジがあります。つまり、ような2つのエッジが存在する場合エッジがあります。$G$$T(G)$$G$$(T_1, T_2)$$x, y \in G$$T_1 - x = T_2 - y$

私の質問はこれです：最小次数を持つ頂点の次数に重要な下限または上限がありますか？$T(G)$

注：質問（最後の行）を少し編集して、あいまいにならないようにしました。

場合有するの頂点とエッジを、次いで、任意のスパニングツリーのためののの各々に含まれていない縁部、パス上のエッジのいずれかと交換することができるのエンドポイント間非ツリーエッジ。がマルチグラフではないと仮定すると、これは少なくとも異なるスワップを与えます。つまり、すべての次数は少なくともです。$G$$n$$m$$T$$G$$m-n+1$$T$$T$$G$$2(m-n+1)$$T$$2(m-n+1)$

この境界はタイトです他のすべてに隣接する頂点があり、がに付随するすべてのエッジからなるスパニングツリーである場合、すべての非ツリーエッジの端点間ののパスの長さは正確に2です。 、したがって、各非ツリーエッジは正確に2つのスワップに参加し、次数は正確にです。$G$$v$$T$$v$$T$$T$$T$$2(m-n+1)$

一方胴回り（最短サイクル長）を有する、その後、任意のツリー内のパス一緒にそのエッジに、少なくとも長さを有していなければならないサイクル構成、任意の非ツリーエッジのエンドポイント間に、ようツリーグラフの最小次数は、少なくともでなければなりません。サイクルグラフ、完全な2部グラフ、ムーアグラフなどの一部のグラフでは、これらのグラフにすべての非ツリーエッジが周囲長と同じ長さのサイクルを引き起こすスパニングツリーが含まれているため、この境界はタイトです。$G$$g$$T$$g$$(g-1)(m-n+1)$

ただし、任意の与えられたグラフのツリーグラフの最小次数を見つけること（同等に、非ツリーエッジによって引き起こされるサイクルの長さの合計を最小にするスパニングツリーを見つけること）はNP完全です：Deo、Prabhu、およびKrishnamoorthyを参照してください。 「グラフで基本的なサイクルを生成するためのアルゴリズム」、ACM TOMS 1982。したがって、すべてのグラフに対してタイトなこれらの境界を見つけることはほとんどありません。